$x = \sqrt{3} + 4$、 $y = \sqrt{3} - 4$のとき、$xy - y^2$の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + 4$、 $y = \sqrt{3} - 4$のとき、$xy - y^2$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$xy$を計算する。

$xy = (\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)$

これは和と差の積の形なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$の公式を利用する。

$xy = (\sqrt{3})^2 - 4^2 = 3 - 16 = -13$

次に、$y^2$を計算する。

$y^2 = (\sqrt{3} - 4)^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$の公式を利用する。

$y^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 4 + 4^2 = 3 - 8\sqrt{3} + 16 = 19 - 8\sqrt{3}$

最後に、$xy - y^2$を計算する。

$xy - y^2 = -13 - (19 - 8\sqrt{3}) = -13 - 19 + 8\sqrt{3} = -32 + 8\sqrt{3} = 8\sqrt{3} - 32$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{3} - 32$