複素数 $z$ が虚数であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $z + \frac{1}{2}$ が実数となるとき、$z$ の絶対値 $|z|$ を求める。 (2) $z + \frac{1}{z}$ が整数となるような $z$ をすべて求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が虚数であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $z + \frac{1}{2}$ が実数となるとき、$z$ の絶対値 $|z|$ を求める。

(2) $z + \frac{1}{z}$ が整数となるような $z$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $z + \frac{1}{z}$ が実数となる条件を考えます。$z = a + bi$ ($a, b$ は実数, $b \ne 0$) とおきます。

$z + \frac{1}{z} = a + bi + \frac{1}{a + bi} = a + bi + \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = (a + \frac{a}{a^2 + b^2}) + (b - \frac{b}{a^2 + b^2})i$

$z + \frac{1}{z}$ が実数であるためには、虚部が0になる必要があります。

$b - \frac{b}{a^2 + b^2} = 0$

$b(1 - \frac{1}{a^2 + b^2}) = 0$

$b \ne 0$ より、 $1 - \frac{1}{a^2 + b^2} = 0$

$a^2 + b^2 = 1$

したがって、 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1} = 1$

(2) $z + \frac{1}{z} = n$ （$n$は整数）とおきます。

$z^2 + 1 = nz$

$z^2 - nz + 1 = 0$

$z = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$

$z$ が虚数であるためには、$n^2 - 4 < 0$ でなければなりません。

$n^2 < 4$

$-2 < n < 2$

$n$ は整数なので、$n = -1, 0, 1$

$n = -1$ のとき、 $z = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$n = 0$ のとき、 $z = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2} = \pm i$

$n = 1$ のとき、 $z = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $|z| = 1$

(2) $z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}, \pm i, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$