2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の2つの解のうち、大きい方を $a$ とするとき、$2a^2 - 3a + 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の2つの解のうち、大きい方を $a$ とするとき、$2a^2 - 3a + 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ を解く。解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

したがって、解は $1 + \sqrt{2}$ と $1 - \sqrt{2}$ である。

$a$ は大きい方の解なので、$a = 1 + \sqrt{2}$ である。

次に、$2a^2 - 3a + 1$ に $a = 1 + \sqrt{2}$ を代入する。

\begin{align*} 2a^2 - 3a + 1 &= 2(1 + \sqrt{2})^2 - 3(1 + \sqrt{2}) + 1 \\ &= 2(1 + 2\sqrt{2} + 2) - 3 - 3\sqrt{2} + 1 \\ &= 2(3 + 2\sqrt{2}) - 2 - 3\sqrt{2} \\ &= 6 + 4\sqrt{2} - 2 - 3\sqrt{2} \\ &= 4 + \sqrt{2}\end{align*}

3. 最終的な答え

$4 + \sqrt{2}$