B1 は複数の小問から構成されています。 (1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。 (2) 実数 $x$ について、$|x| < 1$ が $x > -2$ であるための条件を、選択肢から選ぶ。 (3) 直角三角形 ABC において、$\angle C = 90^\circ$, $AC = 5$, $BC = 12$ である。$\angle A = \theta$ とするとき、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ を求める。 (4) 大人5人、子供4人から3人を選ぶとき、選んだ3人全員が大人となる選び方と、大人も子供も含まれる選び方の総数を求める。 (5) 7つのデータ $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ において、中央値が16であるとき、$a$ の値を求め、このデータの四分位範囲を求める。

はい、承知しました。問題を解いて回答します。

**B1**

1. 問題の内容

B1 は複数の小問から構成されています。

(1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。

(2) 実数 $x$ について、$|x| < 1$ が $x > -2$ であるための条件を、選択肢から選ぶ。

(3) 直角三角形 ABC において、$\angle C = 90^\circ$, $AC = 5$, $BC = 12$ である。$\angle A = \theta$ とするとき、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ を求める。

(4) 大人5人、子供4人から3人を選ぶとき、選んだ3人全員が大人となる選び方と、大人も子供も含まれる選び方の総数を求める。

(5) 7つのデータ $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ において、中央値が16であるとき、$a$ の値を求め、このデータの四分位範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$3x^2 - 2xy - y^2 = (3x + y)(x - y)$

(2) 必要条件と十分条件

$|x| < 1$ は $-1 < x < 1$ を意味する。

$x > -2$ であるための条件を考える。

$-1 < x < 1$ ならば $x > -2$ は常に成り立つので、十分条件である。

しかし、$x > -2$ でも $|x| < 1$ が成り立たない場合があるので、必要条件ではない。

したがって、

3. 十分条件であるが、必要条件ではない が正解。

(3) 三角比

直角三角形 ABC において、$AC = 5$, $BC = 12$ であるから、$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

$\tan \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$

$\sin \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$

(4) 組み合わせ

3人全員が大人となる選び方は、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

3人の選び方の総数は、$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

大人も子供も含まれる選び方は、選び方の総数から3人全員が大人となる選び方を引けばよいので、$84 - 10 = 74$ 通り。

(5) 中央値と四分位範囲

7つのデータを小さい順に並べると、$7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34$ となるはずである。

中央値が 16 であるから、並び替えたデータの真ん中の値が 16 である。

データの個数は7個なので、小さい方から4番目の値が中央値となる。

$a - 15$ と $a+1$ のどちらが中央値になるかで場合分けをする。

1. $a-15 \le 12$ の場合、データは $a-15, a+1, 7, 9, 12, 22, 34$ と並び替えられる可能性がある。中央値が16となることはない。

2. $12 < a-15 < 22$ の場合、$7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34$ の並び順になる。したがって、$a-15 = 16$ より、$a = 31$。

このとき、データは、$7, 9, 12, 16, 32, 22, 34$ となり、$7, 9, 12, 16, 23, 22, 34$となる。正しい並び替えは、$7, 9, 12, 22, 23, 34$となる。

3. $22 \le a-15$ の場合、$7, 9, 12, 22, a-15, a+1, 34$となる。中央値が16となることはない。

$a = 31$ のとき、データは $7, 9, 12, 22, 34, 16, 32$ となる。小さい順に並べると、$7, 9, 12, 16, 22, 32, 34$

第1四分位数は9、第3四分位数は32であるから、四分位範囲は $32 - 9 = 23$

3. 最終的な答え

(1) $(3x+y)(x-y)$

(2) 3

(3) $\tan \theta = \frac{12}{5}$, $\sin \theta = \frac{12}{13}$

(4) 10通り、74通り

(5) $a = 31$、四分位範囲は23