問題3は、2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + b$ について以下の問いに答える問題です。ただし、$a$ と $b$ は定数で、$a<1$、$y=f(x)$のグラフは点$(1,1)$を通ります。 (1) $b$ を $a$ で表し、$y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。 (2) $-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最小値が $\frac{3}{4}$ となるような $a$ の値を求めます。 (3) $-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M+2m=0$ となるような $a$ の値を求めます。

はい、承知しました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題3は、2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + b$ について以下の問いに答える問題です。ただし、$a$ と $b$ は定数で、$a<1$、$y=f(x)$のグラフは点$(1,1)$を通ります。

(1) $b$ を $a$ で表し、$y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。

(2) $-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最小値が $\frac{3}{4}$ となるような $a$ の値を求めます。

(3) $-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M+2m=0$ となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

グラフが点 $(1,1)$ を通るので、$f(1) = 1$ を満たします。

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + b = 1 - 2a + b = 1$

よって、$b = 2a$

$f(x) = x^2 - 2ax + 2a = (x-a)^2 - a^2 + 2a$

したがって、頂点の座標は $(a, -a^2+2a)$ です。

(2)

$f(x)$ の最小値について考えます。軸は $x=a$ です。$-1 \le x \le 1$ の範囲で考えます。

$a < 1$ です。

i) $a < -1$ のとき、$-1 \le x \le 1$ で $f(x)$ は単調減少なので、$x=1$ で最小値をとります。

$f(1) = 1 - 2a + 2a = 1 \ne \frac{3}{4}$ となり、不適。

ii) $-1 \le a \le 1$ のとき、$x=a$ で最小値をとります。

$f(a) = -a^2 + 2a = \frac{3}{4}$

$4a^2 - 8a + 3 = 0$

$(2a-1)(2a-3) = 0$

$a = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$-1 \le a \le 1$ より、$a = \frac{1}{2}$

iii) $a > 1$ のとき、$x=-1$ で最小値をとります。

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + 2a = 1 + 2a + 2a = 1 + 4a = \frac{3}{4}$

$4a = -\frac{1}{4}$

$a = -\frac{1}{16}$

$a > 1$ に反するので不適。

よって、$a = \frac{1}{2}$

(3)

i) $a < -1$ のとき、$-1 \le x \le 1$ で $f(x)$ は単調減少なので、$M = f(-1) = 1+4a$、$m = f(1) = 1$

$M + 2m = 1+4a + 2 = 3 + 4a = 0$

$a = -\frac{3}{4}$

$a < -1$ に反するので不適。

ii) $-1 \le a \le 1$ のとき、$M = \max(f(-1), f(1))$, $m = f(a) = -a^2+2a$

$f(-1) = 1 + 4a, f(1) = 1$

$1+4a > 1 \Leftrightarrow a > 0$ なので、$0 < a \le 1$ のとき $M = 1+4a$, $-1 \le a \le 0$ のとき $M=1$

$M+2m = 0$ より

$M = 1+4a$ のとき、$1+4a + 2(-a^2+2a) = 0$

$2a^2 + 8a + 1 = 0$

$a = \frac{-8 \pm \sqrt{64-8}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{56}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

$0 < a \le 1$ を満たすのは、$a = -2 + \frac{\sqrt{14}}{2}$

$M=1$のとき、$1 + 2(-a^2+2a) = 0$

$2a^2 - 4a - 1 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16+8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$-1 \le a \le 0$ を満たすのは、$a = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$

iii) $a > 1$ のとき、$M = f(-1) = 1 + 4a, m = f(1) = 1$

$M + 2m = 1 + 4a + 2 = 3 + 4a = 0$

$a = -\frac{3}{4}$

$a > 1$ に反するので不適。

まとめると、$a = -2 + \frac{\sqrt{14}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $b=2a$, 頂点の座標は $(a, -a^2+2a)$

(2) $a=\frac{1}{2}$

(3) $a = -2 + \frac{\sqrt{14}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$