四面体OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺BCの中点をEとする。線分DEの中点をM、三角形ABCの重心をGとするとき、3点O, M, Gが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺BCの中点をEとする。線分DEの中点をM、三角形ABCの重心をGとするとき、3点O, M, Gが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

位置ベクトルを用いて証明する。

点Oを始点とする位置ベクトルを考える。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とする。

点Dは辺OAの中点なので、

$\vec{OD} = \frac{1}{2} \vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

点Eは辺BCの中点なので、

$\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

点Mは線分DEの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OD} + \vec{OE}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

点Gは三角形ABCの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{OM} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{3}{4} \vec{OG}$

したがって、$\vec{OM}$は$\vec{OG}$のスカラー倍で表されるため、$\vec{OM}$と$\vec{OG}$は平行である。

また、$\vec{OM}$と$\vec{OG}$は点Oを共有しているため、3点O, M, Gは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点O, M, Gは一直線上にある。