数列 $a_n$ が $a_n = 2^{2n-1} + 2^n$ で与えられているとき、$a_n$ をより簡単な形に書き換える問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = 2^{2n-1} + 2^n$ で与えられているとき、$a_n$ をより簡単な形に書き換える問題です。

2. 解き方の手順

$a_n$ の式を指数法則を用いて変形します。

$2^{2n-1}$ の部分を変形します。指数法則 $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ を用いると、

$2^{2n-1} = 2^{2n} \cdot 2^{-1} = 2^{2n} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (2^2)^n = \frac{1}{2} \cdot 4^n$

したがって、$a_n$ は以下のように書き換えられます。

$a_n = \frac{1}{2} \cdot 4^n + 2^n$

$4^n = (2^2)^n = (2^n)^2$ であるから,

$a_n = \frac{1}{2} (2^n)^2 + 2^n$

$2^n$ で括ると,

$a_n = 2^n (\frac{1}{2} 2^n + 1)$

$a_n = 2^n (\frac{2^n + 2}{2})$

$a_n = 2^{n-1} (2^n + 2)$

$a_n = 2^{n-1} \cdot 2 (2^{n-1} + 1)$

$a_n = 2^n (2^{n-1} + 1)$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n(2^{n-1} + 1)$