与えられた関数 $y = -(x^2 - 4x + 1)^2 + 2x^2 - 8x - 1$ について、以下の問いに答えます。 (i) $x^2 - 4x + 1 = t$ とおくとき、$0 \le x \le 3$ における $t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (ii) $y$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -(x^2 - 4x + 1)^2 + 2x^2 - 8x - 1$ について、以下の問いに答えます。

(i) $x^2 - 4x + 1 = t$ とおくとき、$0 \le x \le 3$ における $t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(ii) $y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(i) $t$ の範囲を求める

まず、$t = x^2 - 4x + 1$ を平方完成します。

$t = (x - 2)^2 - 3$

$0 \le x \le 3$ における $t$ の範囲を考えます。

$x = 2$ のとき、$t = (2-2)^2 - 3 = -3$ (最小値)

$x = 0$ のとき、$t = (0-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x = 3$ のとき、$t = (3-2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

よって、$0 \le x \le 3$ における $t$ の範囲は $-3 \le t \le 1$ です。

(ii) $y$ の最大値と最小値を求める

$y = -(x^2 - 4x + 1)^2 + 2x^2 - 8x - 1$ に $t = x^2 - 4x + 1$ を代入すると、

$y = -t^2 + 2(x^2 - 4x) - 1$

$t = x^2 - 4x + 1$ より $x^2 - 4x = t - 1$ であるから、

$y = -t^2 + 2(t - 1) - 1$

$y = -t^2 + 2t - 2 - 1$

$y = -t^2 + 2t - 3$

$y = -(t^2 - 2t) - 3$

$y = -(t - 1)^2 + 1 - 3$

$y = -(t - 1)^2 - 2$

$t$ の範囲は $-3 \le t \le 1$ であり、$y = -(t - 1)^2 - 2$ は上に凸な放物線です。

$t = 1$ のとき、$y = -(1 - 1)^2 - 2 = -2$ (最大値)

$t = -3$ のとき、$y = -(-3 - 1)^2 - 2 = -16 - 2 = -18$ (最小値)

3. 最終的な答え

(i) $-3 \le t \le 1$

(ii) 最大値: $-2$, 最小値: $-18$