数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 4$ と漸化式 $a_{n+1} = 4a_n - 2^{n+1}$ で定義されるとき、$a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 4$ と漸化式 $a_{n+1} = 4a_n - 2^{n+1}$ で定義されるとき、$a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 4a_n - 2^{n+1}$ を $2^{n+1}$ で割ると

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = 2\frac{a_n}{2^n} - 1$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = 2b_n - 1$

これは $b_{n+1} - 1 = 2(b_n - 1)$ と変形できるので、$c_n = b_n - 1$ とおくと、

$c_{n+1} = 2c_n$

これは公比が 2 の等比数列であるから、$c_n = c_1 \cdot 2^{n-1}$。

$b_n = c_n + 1 = c_1 \cdot 2^{n-1} + 1$

$b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{4}{2} = 2$ より、$c_1 = b_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ であるから、

$b_n = 1 \cdot 2^{n-1} + 1 = 2^{n-1} + 1$

よって、$a_n = 2^n b_n = 2^n (2^{n-1} + 1) = 2^{2n-1} + 2^n$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{2n-1} + 2^n$