$a$ を定数とする。関数 $f(x) = (x^2 - 2x + 3)^2 - a^2 (x^2 - 2x + 3)$ がある。$t = x^2 - 2x + 3$ とおくと、$t$ の値の範囲、$f(x)$ の最小値が正の数となるような定数 $a$ の値の範囲、および $f(x)$ の最小値が整数となる $a$ の値の個数を求める問題。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $f(x) = (x^2 - 2x + 3)^2 - a^2 (x^2 - 2x + 3)$ がある。$t = x^2 - 2x + 3$ とおくと、$t$ の値の範囲、$f(x)$ の最小値が正の数となるような定数 $a$ の値の範囲、および $f(x)$ の最小値が整数となる $a$ の値の個数を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 - 2x + 3$ の最小値を求める。

$t = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$

より、$x=1$のとき、$t$ は最小値 $2$ をとる。

したがって、$t \geqq 2$ となる。

次に、$f(x)$ を $t$ を用いて表すと、

$f(x) = t^2 - a^2 t = t(t - a^2)$

となる。

$f(x)$ の最小値を考える。

$t \geqq 2$ より、$t$ の範囲で $f(x)$ は下に凸な二次関数である。

(i) $a^2 < 2$ のとき、$t \geqq 2$ の範囲で $f(x)$ は増加関数となるので、$t = 2$ で最小値をとる。

最小値は $f(x) = 2(2 - a^2) = 4 - 2a^2$ となる。

この最小値が正の数となる条件は、$4 - 2a^2 > 0$ より、$a^2 < 2$ である。

$a^2 < 2$ と $a^2 < 2$ を満たす $a$ の範囲は $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ となる。

(ii) $a^2 \geqq 2$ のとき、$t = \frac{a^2}{2}$ で最小値をとる。

このとき、軸が $t \geqq 2$ の範囲にあるため、最小値は $t=a^2/2$ のとき、$f(x) = \frac{a^2}{2} (\frac{a^2}{2} - a^2) = - \frac{a^4}{4}$ となる。

この最小値が正の数になることはないため、条件を満たさない。

よって、$f(x)$ の最小値が正の数となるような $a$ の値の範囲は、$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ となる。

次に、$f(x)$ の最小値を $a$ の式で表すことを考える。

(i) $a^2 < 2$ のとき、$f(x)$ の最小値は $4-2a^2$

(ii) $a^2 \geqq 2$ のとき、$f(x)$ の最小値は $-\frac{a^4}{4}$

したがって、$2 \leqq a^2$ のとき、最小値は $-\frac{a^4}{4}$ である。

このとき、$a$ の範囲は $a \leqq -\sqrt{2}$ または $a \geqq \sqrt{2}$ である。

$-\sqrt{6} < a < -\sqrt{2}$ または $\sqrt{2} < a < \sqrt{6}$のときを考える。

このとき、$f(x)$の最小値は $-\frac{a^4}{4}$ である。この値が整数となるのは、$a^4$ が 4 の倍数のときである。つまり、$a$ の候補は、$a^4 = 4, 16, 36, 64$ であり、$-\sqrt[4]{64} = -2\sqrt{2} < a < - \sqrt{2}$ を満たすのは、$a = -\sqrt[4]{4}, -\sqrt[4]{16}=-\sqrt{2}, -\sqrt[4]{36}$ である。$a^4 = 4, 16, 36, 64$ であり、$\sqrt{2} < a < \sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2}$ を満たすのは、$a = \sqrt[4]{4}, \sqrt[4]{16}=\sqrt{2}, \sqrt[4]{36}$ である。

$a = \pm \sqrt{2}$ の場合は、$a^2 = 2$ となり、$f(x)$ の最小値は $4-2a^2 = 0$ となり整数となる。

$f(x)$ の最小値が整数になるための $a$ は、$a = 0, \pm 1$ のとき、$4-2a^2$ は整数となる。

また、$a^2<2$なので、$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ である。このとき、$f(x)$ の最小値は $4-2a^2$ である。

$4-2a^2 = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ となる。

$4-2a^2$ が整数となる条件は、$2a^2$ が整数となれば良い。

$a$ が整数となるのは、$a = -1, 0, 1$ のときである。

このとき、$f(x)$ の最小値は $2, 4$ である。

$a=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき、$4-2a^2=1$

$a=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ のとき、$4-2a^2=-1$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: $-\sqrt{2}$

ウ: $\sqrt{2}$

エ: $4-2a^2$ ($a^2 < 2$ のとき)

$-\frac{a^4}{4}$ ($a^2 \geqq 2$ のとき)

オ: 5 (a=-1,0,1, $\pm \sqrt{2}$)