$\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ のとき、$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$である。 (1) $\sin\theta + \cos\theta$ の値を求めよ。 (2) $\sin\theta$ の値を求めよ。

代数学三角関数三角比二次方程式解の公式
2025/7/6

1. 問題の内容

π<θ<32π\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi のとき、sinθcosθ=14\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}である。
(1) sinθ+cosθ\sin\theta + \cos\theta の値を求めよ。
(2) sinθ\sin\theta の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) sinθ+cosθ\sin\theta + \cos\theta の値を求める。
(sinθ+cosθ)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 を展開すると
(sinθ+cosθ)2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta
sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 より
(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta
sinθcosθ=14\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} を代入すると
(sinθ+cosθ)2=1+214=1+12=32(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
π<θ<32π\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi より sinθ<0\sin\theta < 0 かつ cosθ<0\cos\theta < 0 であるため sinθ+cosθ<0\sin\theta + \cos\theta < 0 である。
したがって sinθ+cosθ=32=62\sin\theta + \cos\theta = -\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}
(2) sinθ\sin\theta の値を求める。
sinθ+cosθ=62\sin\theta + \cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2} より cosθ=62sinθ\cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \sin\theta
sinθcosθ=14\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} に代入すると
sinθ(62sinθ)=14\sin\theta \left( -\frac{\sqrt{6}}{2} - \sin\theta \right) = \frac{1}{4}
62sinθsin2θ=14-\frac{\sqrt{6}}{2}\sin\theta - \sin^2\theta = \frac{1}{4}
sin2θ+62sinθ+14=0\sin^2\theta + \frac{\sqrt{6}}{2}\sin\theta + \frac{1}{4} = 0
sinθ\sin\theta についての二次方程式を解くと
sinθ=62±(62)241142\sin\theta = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 4\cdot1\cdot\frac{1}{4}}}{2}
=62±6412= \frac{-\frac{\sqrt{6}}{2} \pm \sqrt{\frac{6}{4} - 1}}{2}
=62±242= \frac{-\frac{\sqrt{6}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{4}}}{2}
=62±222= \frac{-\frac{\sqrt{6}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}
=6±24= \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4}
π<θ<32π\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi より sinθ<0\sin\theta < 0 である。
6+242.45+1.4140.26\frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{-2.45 + 1.41}{4} \approx -0.26
6242.451.4140.97\frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx \frac{-2.45 - 1.41}{4} \approx -0.97
どちらも負の値をとるため条件を満たす。
cosθ=62sinθ\cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \sin\theta にそれぞれ代入すると
sinθ=6+24\sin\theta = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} のとき、 cosθ=626+24=26+624=624\cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
sinθ=624\sin\theta = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} のとき、 cosθ=62624=26+6+24=6+24\cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{6} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
sinθcosθ=14\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} より sinθcosθ\sin\theta \neq \cos\theta である。
したがって sinθ=624\sin\theta = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

3. 最終的な答え

(1) sinθ+cosθ=62\sin\theta + \cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2}
(2) sinθ=624\sin\theta = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

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