与えられた複素数の式 $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 $\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を分母の共役複素数を掛けることで実数化します。

$\frac{2-i}{3+i}$ に対して、分母の共役複素数 $3-i$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 + 1} = \frac{5-5i}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$$

$\frac{5+10i}{1-3i}$ に対して、分母の共役複素数 $1+3i$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{5+10i}{1-3i} = \frac{(5+10i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{5 + 15i + 10i + 30i^2}{1 - (3i)^2} = \frac{5 + 25i - 30}{1 + 9} = \frac{-25 + 25i}{10} = -\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i$$

次に、上記の結果を元の式に代入して計算します。

$$\frac{2-i}{3+i} - \frac{5+10i}{1-3i} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) - (-\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i = (\frac{1}{2} + \frac{5}{2}) + (-\frac{1}{2}i - \frac{5}{2}i) = \frac{6}{2} - \frac{6}{2}i = 3 - 3i$$

3. 最終的な答え

$3 - 3i$