問題は、以下の2つの組の数について、大小関係を不等号を用いて表すことです。 (1) $\sqrt[3]{\frac{1}{25}}$, $\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{125}}$ (2) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[6]{6}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの組の数について、大小関係を不等号を用いて表すことです。

(1) $\sqrt[3]{\frac{1}{25}}$, $\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{125}}$

(2) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[6]{6}$

2. 解き方の手順

(1) まず、それぞれの数を指数を用いて表します。

$\sqrt[3]{\frac{1}{25}} = \sqrt[3]{\frac{1}{5^2}} = (5^{-2})^{\frac{1}{3}} = 5^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}} = 5^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[4]{\frac{1}{125}} = \sqrt[4]{\frac{1}{5^3}} = (5^{-3})^{\frac{1}{4}} = 5^{-\frac{3}{4}}$

次に、指数部分の分数を比較します。$-\frac{2}{3} = -\frac{8}{12}$, $-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}$, $-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}$

指数関数の底が1より大きい場合、指数が大きいほど値も大きくなりますが、今は底が5で、指数が負なので、指数が大きいほど値は小さくなります。

したがって、$5^{-\frac{9}{12}} < 5^{-\frac{8}{12}} < 5^{-\frac{6}{12}}$ すなわち $\sqrt[4]{\frac{1}{125}} < \sqrt[3]{\frac{1}{25}} < \frac{1}{\sqrt{5}}$

(2) それぞれの数を指数を用いて表します。

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{6} = 6^{\frac{1}{6}}$

指数を揃えるために、すべて$\frac{1}{6}$の形にすることを考えます。

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{6}} = 8^{\frac{1}{6}}$

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 9^{\frac{1}{6}}$

$\sqrt[6]{6} = 6^{\frac{1}{6}}$

よって、$6^{\frac{1}{6}} < 8^{\frac{1}{6}} < 9^{\frac{1}{6}}$ すなわち $\sqrt[6]{6} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[4]{\frac{1}{125}} < \sqrt[3]{\frac{1}{25}} < \frac{1}{\sqrt{5}}$

(2) $\sqrt[6]{6} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$