放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、2つの式から $y$ を消去した2次方程式が重解を持つということである。重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることである。

まず、$y$ を消去する。

$x^2 - 3x + 3 = x + k$

$x^2 - 4x + 3 - k = 0$

次に、この2次方程式の判別式 $D$ を求める。

$D = (-4)^2 - 4(1)(3 - k) = 16 - 12 + 4k = 4 + 4k$

$D = 0$ となる条件より、

$4 + 4k = 0$

$4k = -4$

$k = -1$

$k = -1$ のとき、2次方程式は $x^2 - 4x + 4 = 0$ となり、

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

接点の $x$ 座標は $2$ である。

$y = x + k = 2 + (-1) = 1$

接点の $y$ 座標は $1$ である。

3. 最終的な答え

$k = -1$

接点の座標は $(2, 1)$