問題1：A, B, Cの3種類のくじがあり、それぞれの当たる確率が $1/10$, $1/5$, $1/2$ である。 (1) A, B, C すべてのくじで当たる確率を求めよ。 (2) 少なくとも1種類のくじで当たる確率を求めよ。 問題2：赤玉4個と白玉2個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見て元に戻す試行を5回行う。 (1) 赤玉の方がちょうど3回出る確率を求めよ。 (2) 赤玉の方が3回以上出る確率を求めよ。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題1：A, B, Cの3種類のくじがあり、それぞれの当たる確率が $1/10$, $1/5$, $1/2$ である。

(1) A, B, C すべてのくじで当たる確率を求めよ。

(2) 少なくとも1種類のくじで当たる確率を求めよ。

問題2：赤玉4個と白玉2個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見て元に戻す試行を5回行う。

(1) 赤玉の方がちょうど3回出る確率を求めよ。

(2) 赤玉の方が3回以上出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) A, B, Cすべて当たる確率は、それぞれの確率の積で計算できる。

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$

(2) 少なくとも1種類当たる確率は、余事象の考え方を使う。つまり、すべて外れる確率を1から引くことで求められる。

$P(\text{少なくとも1つ当たる}) = 1 - P(\text{すべて外れる})$

$P(\text{すべて外れる}) = P(A^c) \times P(B^c) \times P(C^c)$

ここで、$P(A^c) = 1 - P(A)$、$P(B^c) = 1 - P(B)$、$P(C^c) = 1 - P(C)$

問題2：

(1) これは二項分布の問題である。赤玉が出る確率 $p = 4/6 = 2/3$、白玉が出る確率 $q = 1 - p = 1/3$。5回の試行で赤玉がちょうど3回出る確率を求める。

$P(\text{赤玉が3回}) = {}_5C_3 \times p^3 \times q^2$

ここで、${}_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(2) 赤玉が3回以上出る確率は、赤玉が3回、4回、5回出る確率の和で計算できる。

$P(\text{赤玉が3回以上}) = P(\text{赤玉が3回}) + P(\text{赤玉が4回}) + P(\text{赤玉が5回})$

$P(\text{赤玉が4回}) = {}_5C_4 \times p^4 \times q^1$

$P(\text{赤玉が5回}) = {}_5C_5 \times p^5 \times q^0$

ここで、${}_5C_4 = 5$、${}_5C_5 = 1$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{10} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{100}$

(2) $P(A^c) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

$P(B^c) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$P(C^c) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$P(\text{すべて外れる}) = \frac{9}{10} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$

$P(\text{少なくとも1つ当たる}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

問題2：

(1) $P(\text{赤玉が3回}) = 10 \times (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$

(2) $P(\text{赤玉が4回}) = 5 \times (\frac{2}{3})^4 \times (\frac{1}{3})^1 = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$

$P(\text{赤玉が5回}) = 1 \times (\frac{2}{3})^5 \times (\frac{1}{3})^0 = \frac{32}{243}$

$P(\text{赤玉が3回以上}) = \frac{80}{243} + \frac{80}{243} + \frac{32}{243} = \frac{192}{243} = \frac{64}{81}$

答え：

問題1：(1) $\frac{1}{100}$ (2) $\frac{16}{25}$

問題2：(1) $\frac{80}{243}$ (2) $\frac{64}{81}$