不定積分 $\int \frac{4x+3}{x^2+36} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{4x+3}{x^2+36} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた積分を2つの積分に分割します。

$\int \frac{4x+3}{x^2+36} dx = \int \frac{4x}{x^2+36} dx + \int \frac{3}{x^2+36} dx$

最初の積分 $\int \frac{4x}{x^2+36} dx$ について、$u = x^2+36$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。したがって、$2du = 4x dx$ となります。

$\int \frac{4x}{x^2+36} dx = \int \frac{2}{u} du = 2 \int \frac{1}{u} du = 2 \ln |u| + C_1 = 2 \ln(x^2+36) + C_1$

(注：$x^2+36$は常に正なので、絶対値を外しました。）

次の積分 $\int \frac{3}{x^2+36} dx$ について、$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。この場合、$a^2 = 36$ なので、$a = 6$ となります。

$\int \frac{3}{x^2+36} dx = 3 \int \frac{1}{x^2+6^2} dx = 3 \cdot \frac{1}{6} \arctan(\frac{x}{6}) + C_2 = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{6}) + C_2$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int \frac{4x+3}{x^2+36} dx = 2 \ln(x^2+36) + \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{6}) + C$ (ただし、$C = C_1 + C_2$)

3. 最終的な答え

$2 \ln(x^2+36) + \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{6}) + C$