$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x - 2x}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x - 2x}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた極限を以下のように分解します。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x - 2x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} - \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x}$$

$\cos x$ は $-1$ から $1$ の間の値しかとらないため、 $x$ が無限大に近づくと $\frac{\cos x}{x}$ は $0$ に収束します。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$$

また、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x} = \lim_{x \to \infty} 2 = 2$$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x - 2x}{x} = 0 - 2 = -2$$

3. 最終的な答え

-2