関数 $f(x,y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、以下の問題を解きます。 (a) 勾配ベクトル $\nabla f(-7, 6)$ を求めます。 (b) 方向ベクトル $(1, 2)$ を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ を求めます。 (c) 方向微分 $\frac{\partial f}{\partial l}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ と、その方向微分係数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、以下の問題を解きます。

(a) 勾配ベクトル $\nabla f(-7, 6)$ を求めます。

(b) 方向ベクトル $(1, 2)$ を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ を求めます。

(c) 方向微分 $\frac{\partial f}{\partial l}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ と、その方向微分係数を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 勾配ベクトル $\nabla f(x, y)$ を求めます。

$\nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 4y$

したがって、$\nabla f(x, y) = (2x + 3y, 3x + 4y)$ となります。

$\nabla f(-7, 6) = (2(-7) + 3(6), 3(-7) + 4(6)) = (-14 + 18, -21 + 24) = (4, 3)$

(b) 方向ベクトル $(1, 2)$ を持つ直線 $e$ に沿った単位ベクトル $\hat{e}$ を求めます。

$\hat{e} = \frac{(1, 2)}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$

方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6)$ は、勾配ベクトル $\nabla f(-7, 6)$ と単位ベクトル $\hat{e}$ の内積で計算できます。

$\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6) = \nabla f(-7, 6) \cdot \hat{e} = (4, 3) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

(c) 方向微分 $\frac{\partial f}{\partial l}(-7, 6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ は、勾配ベクトル $\nabla f(-7, 6)$ と同じ方向です。

$l = \frac{\nabla f(-7, 6)}{|\nabla f(-7, 6)|} = \frac{(4, 3)}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{(4, 3)}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{(4, 3)}{5} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)$

この方向での方向微分係数は、勾配ベクトルの大きさ $|\nabla f(-7, 6)|$ です。

$|\nabla f(-7, 6)| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

3. 最終的な答え

(a) $\nabla f(-7, 6) = (4, 3)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(-7, 6) = 2\sqrt{5}$

(c) $l = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)$, 方向微分係数 = 5