極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 1$ が与えられているとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 1$ が与えられているとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づきます。極限が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要があります。つまり、

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$b = -a - 1$

この結果を元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x-1} = 1$

分子を因数分解します。

$x^2 + ax - a - 1 = x^2 - 1 + ax - a = (x-1)(x+1) + a(x-1) = (x-1)(x+1+a)$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1+a)}{x-1} = 1$

$x \neq 1$ なので、$x-1$ で約分できます。

$\lim_{x \to 1} (x+1+a) = 1$

$1 + 1 + a = 1$

$2 + a = 1$

$a = -1$

$b = -a - 1 = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$

3. 最終的な答え

$a = -1$、 $b = 0$