数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ で定義されている。 (1) 定数 $p, q$ を用いて $a_n = p(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + q(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$ と表すとき、$p, q$ の値を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ で定義されている。

(1) 定数 $p, q$ を用いて $a_n = p(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + q(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$ と表すとき、$p, q$ の値を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_n = p(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + q(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$ を変形して、$a_n$ の式と比較する。

$a_n = p(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + q(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$

$= p(\frac{n+1 - n}{n(n+1)}) + q(\frac{n+2 - (n+1)}{(n+1)(n+2)})$

$= \frac{p}{n(n+1)} + \frac{q}{(n+1)(n+2)}$

$= \frac{p(n+2) + qn}{n(n+1)(n+2)}$

$= \frac{pn + 2p + qn}{n(n+1)(n+2)}$

$= \frac{(p+q)n + 2p}{n(n+1)(n+2)}$

これが $a_n = \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ と等しいので、

$(p+q)n + 2p = 2n+1$

係数を比較して、

$p+q = 2$

$2p = 1$

したがって、$p = \frac{1}{2}$ であり、

$\frac{1}{2} + q = 2$ より、$q = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。

$a_k = \frac{1}{2}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) + \frac{3}{2}(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2})$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{1}{2}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) + \frac{3}{2}(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}) \right]$

$= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) + \frac{3}{2}\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2})$

$= \frac{1}{2}[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ] + \frac{3}{2} [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})]$

$= \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{n+1}) + \frac{3}{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+2})$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2(n+1)} + \frac{3}{4} - \frac{3}{2(n+2)}$

$= \frac{5}{4} - \frac{1}{2(n+1)} - \frac{3}{2(n+2)}$

$= \frac{5}{4} - \frac{(n+2) + 3(n+1)}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5}{4} - \frac{n+2+3n+3}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5}{4} - \frac{4n+5}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5(n+1)(n+2) - 2(4n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5(n^2+3n+2) - 8n - 10}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5n^2+15n+10 - 8n - 10}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5n^2+7n}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{1}{2}$, $q = \frac{3}{2}$

(2) $S_n = \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)}$