数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ で定義されている。 (1) $a_n = p(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + q(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$ と表されるとき、定数 $p, q$ の値を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ で定義されている。

(1) $a_n = p(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + q(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$ と表されるとき、定数 $p, q$ の値を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を $p(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + q(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$ と変形する。

$p(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + q(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) = \frac{p}{n} - \frac{p}{n+1} + \frac{q}{n+1} - \frac{q}{n+2} = \frac{p}{n} + \frac{q-p}{n+1} - \frac{q}{n+2}$

これを整理して、

$\frac{p(n+1)(n+2) + (q-p)n(n+2) - qn(n+1)}{n(n+1)(n+2)} = \frac{p(n^2+3n+2) + (q-p)(n^2+2n) - q(n^2+n)}{n(n+1)(n+2)}$

$= \frac{pn^2+3pn+2p + qn^2+2qn - pn^2-2pn - qn^2-qn}{n(n+1)(n+2)} = \frac{(3p-2p)n + (2p+2q-q)n}{n(n+1)(n+2)} = \frac{(p+q)n+2p}{n(n+1)(n+2)}$

これが $\frac{2n+1}{n(n+1)(n+2)}$ と等しいので、

$p+q = 2$

$2p = 1$

したがって、$p = \frac{1}{2}$, $q = 2-p = 2-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) + \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right)$

$= \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) + \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(n+1)} + \frac{3}{4} - \frac{3}{2(n+2)}$

$= \frac{5}{4} - \frac{1}{2(n+1)} - \frac{3}{2(n+2)} = \frac{5}{4} - \frac{(n+2)+3(n+1)}{2(n+1)(n+2)} = \frac{5}{4} - \frac{4n+5}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5(n+1)(n+2) - 2(4n+5)}{4(n+1)(n+2)} = \frac{5(n^2+3n+2) - 8n - 10}{4(n+1)(n+2)} = \frac{5n^2+15n+10-8n-10}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{5n^2+7n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{1}{2}$, $q = \frac{3}{2}$

(2) $S_n = \frac{n(5n+7)}{4(n+1)(n+2)}$