等式 $ax + (2a-1)y - 5a + 3 = 0$ が、$a$ のどのような値に対しても成り立つように、$x$ と $y$ の値を定める。

1. 問題の内容

等式 $ax + (2a-1)y - 5a + 3 = 0$ が、$a$ のどのような値に対しても成り立つように、$x$ と $y$ の値を定める。

2. 解き方の手順

$a$ についての恒等式として考える。すなわち、$a$ の係数と定数項がともに0になるように $x$ と $y$ を定める。

まず、与えられた式を $a$ について整理する。

$ax + (2a-1)y - 5a + 3 = 0$

$ax + 2ay - y - 5a + 3 = 0$

$(x + 2y - 5)a + (-y + 3) = 0$

この式が $a$ のどのような値に対しても成り立つためには、$a$ の係数と定数項がともに0でなければならない。

したがって、次の連立方程式を得る。

$x + 2y - 5 = 0$

$-y + 3 = 0$

第2式より、

$y = 3$

これを第1式に代入すると、

$x + 2(3) - 5 = 0$

$x + 6 - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x = -1$

3. 最終的な答え

$x = -1$, $y = 3$