白球と赤球が1個ずつ入った袋から、球を1個取り出す。白球が出たらそのまま袋に戻し、赤球が出たら赤球をさらに1個加えて袋に戻す。この操作を $n$ 回繰り返したとき、袋の中に入っている球の数が2個、 $n+2$ 個、3個である確率をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

白球と赤球が1個ずつ入った袋から、球を1個取り出す。白球が出たらそのまま袋に戻し、赤球が出たら赤球をさらに1個加えて袋に戻す。この操作を $n$ 回繰り返したとき、袋の中に入っている球の数が2個、 $n+2$ 個、3個である確率をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 2個の球が入っている確率

これは、 $n$ 回の操作で一度も赤球が出ない確率である。

1回の操作で白球が出る確率は $\frac{1}{2}$ である。

したがって、$n$ 回の操作で一度も赤球が出ない確率は

$P(2) = (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$

(2) $(n+2)$ 個の球が入っている確率

これは、$n$ 回の操作全てで赤球が出続ける確率である。

1回目の操作で赤球が出る確率は $\frac{1}{2}$ である。

2回目の操作で赤球が出る確率は $\frac{2}{3}$ である。

3回目の操作で赤球が出る確率は $\frac{3}{4}$ である。

…

$k$回目の操作で赤球が出る確率は $\frac{k}{k+1}$ である。

したがって、$n$ 回の操作全てで赤球が出る確率は

$P(n+2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$

(3) 3個の球が入っている確率

3個の球が入っているのは、1回だけ赤球が出て、残りの $n-1$ 回は白球が出る場合である。

$k$ 回目に赤球が出て、残りの $n-1$ 回は白球が出る確率は以下のようになる。

1回目の操作で赤球が出て、残りの $n-1$ 回は白球が出る確率: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^n$

2回目の操作で赤球が出て、残りの $n-1$ 回は白球が出る確率: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{3})^{n-1}$

一般に、$k$ 回目に赤球が出て、残りの $n-1$ 回は白球が出る確率は、

$k=1$のとき、 $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^{n-1}$

$k=2$のとき、 $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (\frac{1}{3})^{n-2}$

...

$k=n$のとき、$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times ...\times \frac{n}{n+1} \times (\frac{1}{n+1})^0$

別の考え方として、$P(2)+P(3)+P(n+2)=1$を利用する。

$P(3) = 1 - P(2) - P(n+2) = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{1}{n+1}$

$P(3) = \frac{(n+1)2^n - (n+1) - 2^n}{(n+1)2^n} = \frac{n2^n - n - 1}{(n+1)2^n}$

3. 最終的な答え

(1) 2個の球が入っている確率: $\frac{1}{2^n}$

(2) $(n+2)$ 個の球が入っている確率: $\frac{1}{n+1}$

(3) 3個の球が入っている確率: $\frac{n2^n - 2^n - n - 1}{(n+1)2^n}$

あるいは

(3) 3個の球が入っている確率: $\frac{n2^n - (n+1) - 2^n}{(n+1)2^n}$

あるいは

(3) 3個の球が入っている確率: $1 - \frac{1}{2^n} - \frac{1}{n+1}$