## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 2個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めよ。

(2) 3個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めよ。

(3) $n$個のサイコロ($n=2, 3, \cdots$)を同時に投げるとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) 2個のサイコロの場合**

全事象は $6 \times 6 = 36$ 通り。

積が6の倍数にならない場合を考える。

* 少なくとも一方のサイコロの目が奇数である必要がある。

* 3の倍数 (3,6) が少なくとも一つも出てはいけない。

1の目が出るサイコロの目は1, 2, 4, 5のいずれかである。

奇数は1, 5の2つ、偶数は2, 4の2つである。

1, 2, 4, 5のいずれかの目しか出ない場合、積は6の倍数にならない。

この確率は各サイコロにおいて $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

両方のサイコロの目が1, 2, 4, 5のいずれかの場合、積は6の倍数にならない。

そのような組み合わせの数は $4 \times 4 = 16$ 通り。

したがって、積が6の倍数になる確率は、全体から積が6の倍数にならない確率を引けばよい。

$1 - \frac{16}{36} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

**(2) 3個のサイコロの場合**

全事象は $6 \times 6 \times 6 = 216$通り。

積が6の倍数にならない場合を考える。これは、以下の両方の条件を満たす場合である。

* 3の倍数（3または6）が全く出ない。

* 2の倍数（2, 4, 6）が1つも出ないか、または2の倍数が1つだけ出て、残りの2つが奇数である。

3の倍数が出ない確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3つのサイコロ全てで3の倍数が出ない確率は $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

2の倍数が1つも出ない場合を考える。

各サイコロで奇数が出る確率は $\frac{1}{2}$

この確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

2の倍数が1つだけ出る場合を考える。

2の倍数が出る確率は $\frac{1}{2}$

奇数が出る確率は $\frac{1}{2}$

この確率は ${3 \choose 1} (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^2 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

両方の条件を満たす確率：

($2$の倍数が出ない確率) $\times$ ($3$の倍数が出ない確率) = $\frac{1}{8}$

($2$の倍数が一つだけ出て、残りの2つが奇数である確率) $\times$ ($3$の倍数が出ない確率) = $\frac{3}{8} \times (\frac{2}{3})^3/(\frac{1}{2})^3 \times \frac{3}{4}\times \frac{4}{6}= \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{32}$

したがって、積が6の倍数にならない確率は

$\frac{1}{8} \times \frac{8}{27} + \frac{3}{8} \times \frac{4}{6} \times \frac{4}{6}\times \frac{4}{6} = \frac{1}{27} + \frac{3}{8} \times \frac{8}{27}= \frac{1}{27} + \frac{1}{9} = \frac{4}{27}$

よって、積が6の倍数になる確率は

$1 - \frac{4}{27} = \frac{23}{27}$

**(3) n個のサイコロの場合**

積が6の倍数にならない確率は、以下の両方の条件を満たす場合である。

* 3の倍数（3または6）が全く出ない。

* 2の倍数（2, 4, 6）が0個または1個だけである。

3の倍数が出ない確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。 $n$個のサイコロ全てで3の倍数が出ない確率は $(\frac{2}{3})^n$

2の倍数が全く出ない確率は $(\frac{1}{2})^n$

2の倍数が1つだけ出る確率は ${n \choose 1} (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^{n-1} = n (\frac{1}{2})^n$

したがって、積が6の倍数にならない確率は

$(\frac{2}{3})^n (\frac{1}{2})^n + (\frac{2}{3})^n n (\frac{1}{2})^n = (\frac{2}{3})^n (\frac{1}{2})^n (1+n) = (\frac{1}{3})^n (1+n)$

よって、積が6の倍数になる確率は

$1 - (\frac{1}{3})^n (n+1)$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{9}$

(2) $\frac{23}{27}$

(3) $1 - (\frac{1}{3})^n (n+1)$