(1) 2個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めます。 (2) 3個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めます。 (3) n個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めます。ただし、$n = 2, 3, ...$ です。

1. 問題の内容

(1) 2個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めます。

(2) 3個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めます。

(3) n個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求めます。ただし、$n = 2, 3, ...$ です。

2. 解き方の手順

(1) 2個のサイコロの場合

全事象は $6 \times 6 = 36$ 通りです。

積が6の倍数にならない場合を考えます。これは、両方のサイコロの目が、1,2,3,4,5,6のうち、3の倍数（3,6）を含まず、かつ2の倍数（2,4,6）を含まない場合、または、3の倍数を含まず、2の倍数を１つだけ含む場合です。3の倍数を含まない数は1,2,4,5。2の倍数を含まない数は1,3,5。

積が6の倍数にならないのは、

- 両方とも3の倍数を含まない場合: (1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 4), (5, 5)の16通り。

- または、3の倍数を１つも含まない場合：(1,1), (1,2), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,4), (2,5), (4,1), (4,2), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,4), (5,5)。

このうち、積が6の倍数にならないのは以下の組み合わせです。

(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 4), (5, 5)

積が6の倍数にならない確率は $16/36 = 4/9$です。

よって、積が6の倍数になる確率は $1 - 4/9 = 5/9$です。

(2) 3個のサイコロの場合

全事象は $6^3 = 216$ 通りです。

積が6の倍数にならないのは、3つのサイコロの目がすべて3の倍数を含まないか、または3つのサイコロの目の積が2の倍数を含まないかのいずれかです。言い換えると、少なくとも一つのサイコロの目が3の倍数(3,6)を含み、かつ少なくとも一つのサイコロの目が2の倍数(2,4,6)を含まない場合を除いた場合です。

積が6の倍数にならない確率は、$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$

積が6の倍数になる確率は、$1 - p(A) - p(B) + p(A \cap B)$。A=3の倍数を含まない、B=2の倍数を含まない。

- A: 3つのサイコロ全てが3, 6を含まない (1, 2, 4, 5) $4^3 = 64$

- B: 3つのサイコロ全てが2, 4, 6を含まない (1, 3, 5) $3^3 = 27$

- $A \cap B$: 3つのサイコロ全てが1, 5のみ $2^3 = 8$

積が6の倍数にならない確率は $(64 + 27 - 8)/216 = 83/216$

よって、積が6の倍数になる確率は $1 - 83/216 = 133/216$ です。

(3) n個のサイコロの場合

積が6の倍数になる確率を求める代わりに、積が6の倍数にならない確率を求め、それを1から引きます。

積が6の倍数にならないのは、n個のサイコロの目がすべて3の倍数を含まないか、またはn個のサイコロの目がすべて2の倍数を含まないかのいずれかです。

サイコロの目が3の倍数を含まない確率は $(4/6)^n = (2/3)^n$ です。

サイコロの目が2の倍数を含まない確率は $(3/6)^n = (1/2)^n$ です。

サイコロの目が2の倍数も3の倍数も含まない確率は $(2/6)^n = (1/3)^n$ です。

積が6の倍数にならない確率は $(2/3)^n + (1/2)^n - (1/3)^n$ です。

積が6の倍数になる確率は $1 - ((2/3)^n + (1/2)^n - (1/3)^n)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 5/9

(2) 133/216

(3) $1 - (\frac{2}{3})^n - (\frac{1}{2})^n + (\frac{1}{3})^n$