金貨と銀貨を同時に1回投げる試行を5回繰り返す。金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨が裏なら1点、金貨が表で銀貨も表なら2点が得られる。5回の試行で得られる点数の合計をXとする。以下の確率を求める。 (1) $X=1$となる確率 (2) $X=3$となる確率 (3) $X$が偶数となる確率 (0は偶数とする)

1. 問題の内容

金貨と銀貨を同時に1回投げる試行を5回繰り返す。金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨が裏なら1点、金貨が表で銀貨も表なら2点が得られる。5回の試行で得られる点数の合計をXとする。以下の確率を求める。

(1) $X=1$となる確率

(2) $X=3$となる確率

(3) $X$が偶数となる確率 (0は偶数とする)

2. 解き方の手順

1回の試行で得られる点数は0, 1, 2のいずれかである。それぞれの確率を求める。

- 0点となる確率: 金貨が裏の場合のみなので、確率は$1/2$

- 1点となる確率: 金貨が表で銀貨が裏の場合なので、確率は$(1/2) \times (1/2) = 1/4$

- 2点となる確率: 金貨が表で銀貨が表の場合なので、確率は$(1/2) \times (1/2) = 1/4$

(1) $X=1$となるのは、5回の試行のうち1回だけ1点が出て、残りの4回は0点となる場合のみである。

1点が出る確率は$1/4$、0点が出る確率は$1/2$なので、そのような事象が起こる確率は、二項分布を用いて計算できる。

5回のうち1回1点が出る組み合わせは${}_5C_1 = 5$通り。

したがって、$X=1$となる確率は

$5 \times (1/4)^1 \times (1/2)^4 = 5/64$

(2) $X=3$となるのは、以下の2つの場合がある。

- 1点が3回、0点が2回

- 1点が1回、2点が1回、0点が3回

それぞれの確率を計算する。

- 1点が3回、0点が2回の場合

${}_5C_3 \times (1/4)^3 \times (1/2)^2 = 10 \times (1/64) \times (1/4) = 10/256 = 5/128$

- 1点が1回、2点が1回、0点が3回の場合

${}_5C_1 \times {}_4C_1 \times (1/4)^1 \times (1/4)^1 \times (1/2)^3 = 5 \times 4 \times (1/4) \times (1/4) \times (1/8) = 20/128 = 5/32$

したがって、$X=3$となる確率は

$5/128 + 5/32 = 5/128 + 20/128 = 25/128$

(3) Xが偶数となる確率を求める。

Xが奇数となる確率を求めて、1から引くことで偶数となる確率を求める。

1回の試行で得られる点数が奇数（1点）となる確率は$1/4$であり、偶数（0点か2点）となる確率は$1/2+1/4=3/4$である。

Xが奇数になるのは、1点の回数が奇数の場合。つまり、1回、3回、5回の場合を考える。

- 1点が1回の場合：${}_5C_1 (1/4)^1 (3/4)^4 = 5 \times (1/4) \times (81/256) = 405/1024$

- 1点が3回の場合：${}_5C_3 (1/4)^3 (3/4)^2 = 10 \times (1/64) \times (9/16) = 90/1024 = 45/512$

- 1点が5回の場合：${}_5C_5 (1/4)^5 (3/4)^0 = 1 \times (1/1024) = 1/1024$

Xが奇数となる確率 = $405/1024 + 90/1024 + 1/1024 = 496/1024 = 31/64$

Xが偶数となる確率 = $1 - 31/64 = 33/64$

3. 最終的な答え

(1) $X=1$となる確率: $5/64$

(2) $X=3$となる確率: $25/128$

(3) $X$が偶数となる確率: $33/64$