ある製品がA工場で40%, B工場で60%生産されている。A工場では1%, B工場では2%の不合格品が出る。この製品の中から1個を取り出して検査する。 (1) 取り出した製品が不合格品である確率を求めよ。 (2) 取り出した製品が不合格品であったとき、この製品がA工場の製品である確率を求めよ。

1. 問題の内容

ある製品がA工場で40%, B工場で60%生産されている。A工場では1%, B工場では2%の不合格品が出る。この製品の中から1個を取り出して検査する。

(1) 取り出した製品が不合格品である確率を求めよ。

(2) 取り出した製品が不合格品であったとき、この製品がA工場の製品である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 全確率の定理を使う。取り出した製品が不合格品である確率は、A工場で生産された製品が不合格品である確率と、B工場で生産された製品が不合格品である確率の和で計算できる。

* A工場で生産される確率: $P(A) = 0.4$

* B工場で生産される確率: $P(B) = 0.6$

* A工場で生産された製品が不合格品である確率: $P(不良|A) = 0.01$

* B工場で生産された製品が不合格品である確率: $P(不良|B) = 0.02$

取り出した製品が不合格品である確率 $P(不良)$ は次の式で計算できる。

$P(不良) = P(A) \times P(不良|A) + P(B) \times P(不良|B)$

$P(不良) = 0.4 \times 0.01 + 0.6 \times 0.02 = 0.004 + 0.012 = 0.016$

(2) ベイズの定理を使う。不合格品であったとき、その製品がA工場の製品である確率 $P(A|不良)$ は次の式で計算できる。

$P(A|不良) = \frac{P(不良|A) \times P(A)}{P(不良)}$

$P(A|不良) = \frac{0.01 \times 0.4}{0.016} = \frac{0.004}{0.016} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$

3. 最終的な答え

(1) 取り出した製品が不合格品である確率: 0.016

(2) 取り出した製品が不合格品であったとき、その製品がA工場の製品である確率: 0.25