A, B, C, D, Eの5人に、それぞれ自分の名前が書かれた名札が1枚ずつあります。この5枚の名札を各人に1枚ずつランダムに配るとき、以下の確率を求めます。 (1) 5人全員が自分の名札を受け取る確率 (2) ちょうど3人が自分の名札を受け取る確率 (3) ちょうど2人が自分の名札を受け取る確率 (4) ちょうど1人が自分の名札を受け取る確率

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

A, B, C, D, Eの5人に、それぞれ自分の名前が書かれた名札が1枚ずつあります。この5枚の名札を各人に1枚ずつランダムに配るとき、以下の確率を求めます。

(1) 5人全員が自分の名札を受け取る確率

(2) ちょうど3人が自分の名札を受け取る確率

(3) ちょうど2人が自分の名札を受け取る確率

(4) ちょうど1人が自分の名札を受け取る確率

2. 解き方の手順

まず、名札の配り方の総数を考えます。これは5人の順列なので、$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

(1) 5人全員が自分の名札を受け取る確率は、配り方が1通りしかないので、$1/120$ です。

(2) ちょうど3人が自分の名札を受け取る場合、残りの2人は必ず他人の名札を受け取ることになります。

3人を選ぶ方法は ${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りあります。

残りの2人の名札が入れ替わるのは1通りだけです。したがって、そのような場合の数は10通りです。

確率は $10/120 = 1/12$ です。

(3) ちょうど2人が自分の名札を受け取る場合、残りの3人は誰も自分の名札を受け取らない必要があります。

3人が誰も自分の名札を受け取らない場合の数は、完全順列（撹乱順列）と呼ばれ、3人の場合は2通りです。

2人を選ぶ方法は ${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りあります。

したがって、そのような場合の数は $10 \times 2 = 20$ 通りです。

確率は $20/120 = 1/6$ です。

(4) ちょうど1人が自分の名札を受け取る場合、残りの4人は誰も自分の名札を受け取らない必要があります。

4人が誰も自分の名札を受け取らない場合の数は、4人の完全順列で9通りです。

1人を選ぶ方法は ${}_5 C_1 = 5$ 通りあります。

したがって、そのような場合の数は $5 \times 9 = 45$ 通りです。

確率は $45/120 = 3/8$ です。

3. 最終的な答え

(1) 5人全員が自分の名札を受け取る確率: $1/120$

(2) ちょうど3人が自分の名札を受け取る確率: $1/12$

(3) ちょうど2人が自分の名札を受け取る確率: $1/6$

(4) ちょうど1人が自分の名札を受け取る確率: $3/8$