A, Bの2つの野球チームが対戦し、先に4勝したチームが優勝する。引き分けはないものとし、各試合でAチームがBチームに勝つ確率は $\frac{3}{5}$ である。 (1) Aチームが4勝1敗で優勝する確率を求めよ。 (2) 4試合が終わってAチームの1勝3敗になった。その後、どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

A, Bの2つの野球チームが対戦し、先に4勝したチームが優勝する。引き分けはないものとし、各試合でAチームがBチームに勝つ確率は $\frac{3}{5}$ である。

(1) Aチームが4勝1敗で優勝する確率を求めよ。

(2) 4試合が終わってAチームの1勝3敗になった。その後、どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Aチームが4勝1敗で優勝する場合、Aチームは最後の試合に必ず勝つ必要があるので、最初の4試合でAチームが3勝1敗すればよい。

最初の4試合でAチームが3勝1敗する確率は、二項分布より

${}_4C_3 \left( \frac{3}{5} \right)^3 \left( \frac{2}{5} \right)^1 = 4 \cdot \frac{27}{125} \cdot \frac{2}{5} = \frac{216}{625}$

したがって、Aチームが4勝1敗で優勝する確率は

$\frac{216}{625}$

(2) 4試合終了後、Aチームは1勝3敗である。Aチームが優勝するためには、残り3勝する必要がある。Bチームが優勝するためには、残り1勝する必要がある。

残り試合数を $X$ とする。

- Bが1勝0敗で優勝する場合：確率 $\frac{2}{5}$, 残り試合数 1

- Aが3勝0敗で優勝する場合：確率 $\left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{27}{125}$, 残り試合数 3

- Bが1勝1敗で優勝する場合：確率 ${}_2C_1 \left( \frac{2}{5} \right) \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{2}{5} \right) = \frac{24}{125}$, 残り試合数 2

- Bが1勝2敗で優勝する場合：確率 ${}_3C_2 \left( \frac{2}{5} \right) \left( \frac{3}{5} \right)^2 \left( \frac{2}{5} \right) = 3 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{2}{5} = \frac{108}{625}$, 残り試合数3

- Aが3勝1敗で優勝する場合：確率 ${}_4C_3 \left( \frac{3}{5} \right)^3 \left( \frac{2}{5} \right) \left( \frac{3}{5} \right) = 4 \cdot \frac{27}{125} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{648}{625}$

以下のように場合分けする。

Bが先に1勝する場合：確率 $\frac{2}{5}$, 残り試合数 1

Aが先に3勝する場合：確率 $(\frac{3}{5})^3=\frac{27}{125}$, 残り試合数 3

Bが1勝するまでにAが1勝する場合：確率は ${}_2C_1 (\frac{3}{5}) (\frac{2}{5})^2 = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{25} = \frac{24}{125}$、残り試合数2

Bが1勝するまでにAが2勝する場合: 確率は ${}_3C_2 (\frac{3}{5})^2 (\frac{2}{5})^2 = 3 \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{4}{25} = \frac{108}{625}$, 残り試合数3

Aが3勝するまでにBが2勝する場合：確率は ${}_4C_3 (\frac{3}{5})^3 (\frac{2}{5})^1 (\frac{2}{5}) = 4\cdot (\frac{3}{5})^3 \cdot (\frac{2}{5})^2 = \frac{432}{625}$

期待値は

$1 \cdot \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{27}{125} + 2 \cdot \frac{24}{125} + 3 \cdot \frac{108}{625} = \frac{500 + 324 + 120 + 324}{625} = \frac{1268}{625} = 2.0288$

4試合が終わってAチームが1勝3敗になった後、

Aが残り3勝する必要があり、Bが残り1勝する必要がある。

$E[X] = \sum_{k=1}^{4} k P(X=k)$

Aの勝利数: $a$, Bの勝利数: $b$

(Aが優勝)

$a = 3$, $b < 1$

(Bが優勝)

$a < 3$, $b = 1$

残り1試合でBが勝つ確率: $\frac{2}{5}$, このとき残り試合数は1

残り2試合でBが勝つ確率: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$, このとき残り試合数は2

残り2試合でAが2連勝する確率: $(\frac{3}{5})^2$, このとき残り試合数は2

残り3試合でBが勝つ確率: $(\frac{3}{5})^2 \cdot \frac{2}{5}$, このとき残り試合数は3

残り3試合でAが3連勝する確率: $(\frac{3}{5})^3$, このとき残り試合数は3

残り試合数の期待値 = $1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot (\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}) + 2 \cdot (\frac{3}{5})^2 + 3 \cdot (\frac{3}{5})^2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5} + \frac{12}{25} + \frac{18}{25} + \frac{54}{125} = \frac{50+60+90+54}{125} = \frac{254}{125} = 2.032$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{216}{625}$

(2) $\frac{254}{125}$