次の方程式を解きます。 (1) $2^{2x} - 9 \times 2^x + 8 = 0$ (2) $9^x - 3^{x+1} - 54 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $2^{2x} - 9 \times 2^x + 8 = 0$

(2) $9^x - 3^{x+1} - 54 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$2^x = t$ とおくと、$t>0$であり、

$2^{2x} = (2^x)^2 = t^2$ となるので、与えられた方程式は

$t^2 - 9t + 8 = 0$

と変形できます。

この二次方程式を解くと、

$(t-1)(t-8) = 0$

よって、$t = 1, 8$ となります。

$t = 2^x$ より、

$2^x = 1$ のとき $x = 0$

$2^x = 8 = 2^3$ のとき $x = 3$

(2)

$3^x = t$ とおくと、$t>0$であり、

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$

$3^{x+1} = 3^x \times 3^1 = 3t$

となるので、与えられた方程式は

$t^2 - 3t - 54 = 0$

と変形できます。

この二次方程式を解くと、

$(t-9)(t+6) = 0$

よって、$t = 9, -6$ となります。

$t = 3^x > 0$ より、$t = 9$

$3^x = 9 = 3^2$ より、$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, 3$

(2) $x = 2$