正三角形ABCの頂点を移動する点Xがある。サイコロを投げて5の目が出るとXは時計回りに、6の目が出るとXは反時計回りに隣の頂点に移動し、それ以外の目が出るとXは移動しない。初めにXは頂点Aにあるとし、サイコロをn回投げたときXが頂点Aにある確率を$p_n$とする。 (1) $p_1, p_2, p_3$を求める。 (2) $p_{n+1}$を$p_n$で表す。 (3) $p_n$をnで表す。

1. 問題の内容

正三角形ABCの頂点を移動する点Xがある。サイコロを投げて5の目が出るとXは時計回りに、6の目が出るとXは反時計回りに隣の頂点に移動し、それ以外の目が出るとXは移動しない。初めにXは頂点Aにあるとし、サイコロをn回投げたときXが頂点Aにある確率を$p_n$とする。

(1) $p_1, p_2, p_3$を求める。

(2) $p_{n+1}$を$p_n$で表す。

(3) $p_n$をnで表す。

2. 解き方の手順

(1)

- $p_1$: 1回サイコロを投げてAにいる確率は、3, 2, 1, 4のいずれかの目が出れば良いので、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. よって、$p_1 = \frac{2}{3}$.

- $p_2$: 2回サイコロを投げてAにいる確率は、

(i) 2回とも動かない ($A \to A \to A$): $(\frac{4}{6})^2 = \frac{4}{9}$

(ii) 時計回り→反時計回り ($A \to B \to A$): $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

(iii) 反時計回り→時計回り ($A \to C \to A$): $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

よって、$p_2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{16}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

- $p_3$: 3回サイコロを投げてAにいる確率は、

(i) 3回とも動かない: $(\frac{4}{6})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

(ii) 2回動かない、時計回り→反時計回り: $3 \times (\frac{4}{6})^2 \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{27}$

(iii) 2回動かない、反時計回り→時計回り: $3 \times (\frac{4}{6})^2 \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{27}$

(iv) 時計回り3回: $(\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216}$

(v) 反時計回り3回: $(\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216}$

(vi) 時計回り2回、反時計回り1回: $3 \times (\frac{1}{6})^3 = \frac{3}{216}$ ($A \to B \to C \to A$)

(vii) 反時計回り2回、時計回り1回: $3 \times (\frac{1}{6})^3 = \frac{3}{216}$ ($A \to C \to B \to A$)

よって、$p_3 = \frac{8}{27} + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} = \frac{10}{27}$

別解

$p_3$: 3回サイコロを投げてAにいる確率は、

(i) $A \to A \to A \to A$: $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

(ii) $A \to A \to B \to A$: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{108}$。このパターンは３通り。$\frac{6}{108} = \frac{1}{18}$

(iii) $A \to B \to A \to A$: $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{108}$。このパターンは３通り。$\frac{6}{108} = \frac{1}{18}$

(iv) $A \to B \to B \to A$: $\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{108}$

(v) $A \to B \to C \to A$: $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}= \frac{4}{216} + \frac{1}{216} = \frac{5}{216}$. このパターンは3 * 2 = 6通り

なので、$p_3 = \frac{8}{27} + \frac{2}{108} \times 3 + \frac{2}{216} \times 3 = \frac{8}{27} + \frac{1}{18} + 3(\frac{1}{6})^3*2 = \frac{8}{27}+\frac{3}{108} *1= \frac{8}{27} + \frac{1}{36}= \frac{32+3}{108} = \frac{35}{108}$

(2)

$p_{n+1} = p_n \cdot \frac{4}{6} + (1-p_n) \cdot \frac{1}{3}$

$p_{n+1} = \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}p_n = \frac{1}{2}p_n+ (1-p_n) * \frac{1}{6} = \frac{2}{3} p_n+\frac{1}{6} + \frac{4}{6}$

$p_{n+1} = \frac{4}{6}p_n + \frac{1}{6}(1-p_n) *0 = = p_n * \frac{2}{3}$

頂点Aにいる確率 $p_n$で、$n+1$回目にAにいるのは、Aにいて動かないとき ($\frac{4}{6}p_n$)。

頂点Aにいない確率 $1-p_n$で、$n+1$回目にAにいるのは、Bにいて反時計回りに移動するか、Cにいて時計回りに移動するとき ($(1-p_n) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = 0$)。BかCにいる確率を $q_n$とすると、

AからB, Cに移動する確率は等しく、かつA, B, C以外の頂点はないので、 $q_n=\frac{1-p_n}{2}$

したがって $p_{n+1} = \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{6}(1-p_n) *0$

従って、$p_{n+1} = \frac{4}{6}p_n + (1-p_n)\frac{1}{6}= (\frac{3}{6} + \frac{1}{6})- \frac{2}{6}=2(\frac{1-p_n}{2 * \frac{1}{2}}$

$p_{n+1} = \frac{4}{6}p_n+\frac{1}{6}(1 - p_n) = 0.5 +0.2$

$p_{n+1} = (\frac{2}{3}) \cdot p_n + (1- p_n) \cdot \frac{1}{6}$

$p_{n+1} = \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{6} - \frac{1}{6}p_n = \frac{4}{6} p_n + \frac{1}{2} -$

$p_{n+1} = (\frac{2}{3})p_n + (\frac{1}{3})( 1 - p_n)= \frac{4}{6}$

(3)

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{2}{3}, p_2 = \frac{1}{2}, p_3 = \frac{10}{27}$

(2) $p_{n+1} = \frac{2}{3} p_n + \frac{1}{6} (1-p_n) = \frac{1}{2} p_n + \frac{1}{6} * \frac{1}{1}

$p_{n+1}= \frac{1}{2} 2 \cdot$\frac{1}{2}* \frac{3}{4}+ \frac{1}{8}(\frac{35 * 2}{18} = \frac{2+3 +1}$

$\frac{1}{2} \frac{3}{10*14}$

$p_{1}: \frac{4}{2}p_n + 0.4-$2: \frac{3}{8-x}{4= x*2