## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題12：ある高校の生徒について、書籍Aを読んだことがある人は65%, AとB両方を読んだことがある人は30%である。Aを読んだ人がBも読んでいる条件付き確率を求めよ。

問題13：当たりくじ5本を含む12本のくじを、A,Bの順に1本ずつ引く。ただし、引いたくじは戻さない。Bが当たる確率を求めよ。

問題14：3個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の最大値が4である確率を求めよ。

問題15：赤玉2個と白玉3個が入った袋から3個の玉を同時に取り出す。出た赤玉1個につき100円もらえるとき、もらえる金額の期待値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題12

求めるのは、$P(B|A)$、つまりAを読んだ人がBも読んでいる確率です。

条件付き確率の公式は、$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$です。

問題文より、$P(A) = 0.65$、$P(A \cap B) = 0.30$です。

したがって、$P(B|A) = \frac{0.30}{0.65} = \frac{30}{65} = \frac{6}{13}$

### 問題13

Bが当たる確率を求めます。Bが当たるのは、

(i) Aが外れて、Bが当たる場合

(ii) Aが当たって、Bも当たる場合

の2通りです。

(i) Aが外れてBが当たる確率：Aが外れる確率は$\frac{12-5}{12} = \frac{7}{12}$。Aが外れた後、当たりくじは5本のまま、くじの総数は11本なので、Bが当たる確率は$\frac{5}{11}$。したがって、確率は$\frac{7}{12} \times \frac{5}{11} = \frac{35}{132}$。

(ii) Aが当たってBも当たる確率：Aが当たる確率は$\frac{5}{12}$。Aが当たった後、当たりくじは4本に減り、くじの総数は11本なので、Bが当たる確率は$\frac{4}{11}$。したがって、確率は$\frac{5}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{20}{132}$。

Bが当たる確率は、(i)と(ii)の確率の和なので、$\frac{35}{132} + \frac{20}{132} = \frac{55}{132} = \frac{5}{12}$。

別解として、Bが当たる確率はAが当たる確率と同じであるため$\frac{5}{12}$

### 問題14

3個のサイコロの目がすべて4以下であり、かつ少なくとも1つは4である確率を求める。

3個のサイコロの目がすべて4以下である確率は、$(\frac{4}{6})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$。

3個のサイコロの目がすべて3以下である確率は、$(\frac{3}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$。

求める確率は、前者から後者を引いたものなので、$\frac{8}{27} - \frac{1}{8} = \frac{64-27}{216} = \frac{37}{216}$。

### 問題15

赤玉2個と白玉3個が入った袋から3個の玉を取り出す。

赤玉の個数によってもらえる金額が変わるので、赤玉の個数ごとに確率を計算する。

(i) 赤玉0個の場合：もらえる金額は0円。確率は$\frac{{3 \choose 3}}{{5 \choose 3}} = \frac{1}{10}$。

(ii) 赤玉1個の場合：もらえる金額は100円。確率は$\frac{{2 \choose 1}{3 \choose 2}}{{5 \choose 3}} = \frac{2 \times 3}{10} = \frac{6}{10}$。

(iii) 赤玉2個の場合：もらえる金額は200円。確率は$\frac{{2 \choose 2}{3 \choose 1}}{{5 \choose 3}} = \frac{1 \times 3}{10} = \frac{3}{10}$。

期待値は、各金額とその確率の積の和なので、

$0 \times \frac{1}{10} + 100 \times \frac{6}{10} + 200 \times \frac{3}{10} = 0 + 60 + 60 = 120$

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3. 最終的な答え

問題12：$\frac{6}{13}$

問題13：$\frac{5}{12}$

問題14：$\frac{37}{216}$

問題15：120円