大人5人と子供10人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。 (1) すべての選び方を求めます。 (2) 大人2人と子供3人を選ぶ場合の数を求めます。

1. 問題の内容

大人5人と子供10人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。

(1) すべての選び方を求めます。

(2) 大人2人と子供3人を選ぶ場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全体の人数は15人なので、15人から5人を選ぶ組み合わせを計算します。

組み合わせの公式は $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

したがって、$15C_5 = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3 \times 7 \times 13 \times 3 \times 11 = 3003$ となります。

(2) 大人2人を選ぶ組み合わせは $5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

子供3人を選ぶ組み合わせは $10C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 通りです。

したがって、大人2人と子供3人を選ぶ組み合わせは $5C_2 \times 10C_3 = 10 \times 120 = 1200$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) すべての選び方: 3003通り

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方: 1200通り