まっすぐな道路に面した土地があり、長さ12mのロープを使って長方形ABCDの土地を囲む。長方形ABCDの面積を最大にするには、辺ABの長さを何mにすればよいか。

1. 問題の内容

まっすぐな道路に面した土地があり、長さ12mのロープを使って長方形ABCDの土地を囲む。長方形ABCDの面積を最大にするには、辺ABの長さを何mにすればよいか。

2. 解き方の手順

辺ABの長さを $x$ mとする。

長方形の周の長さ（道路に面した辺を除く）は12mなので、辺BCの長さは $(12 - 2x)/2 = 6 - x$ mとなる。ただし、$0 < x < 6$。

長方形の面積 $S$ は、

$S = x(6 - x) = 6x - x^2$

$S$ を最大にする $x$ を求めるために、$S$ を $x$ で微分する。

$\frac{dS}{dx} = 6 - 2x$

$\frac{dS}{dx} = 0$ となる $x$ を求める。

$6 - 2x = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

二階微分を計算して、$x = 3$ が極大値を与えることを確認する。

$\frac{d^2S}{dx^2} = -2$

二階微分が負なので、$x = 3$ で $S$ は極大値を取る。

したがって、長方形の面積を最大にするには、辺ABの長さを3mにすればよい。

3. 最終的な答え

3 m