大人3人、子ども5人の中から4人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。 (1) 大人2人と子ども2人を選ぶ。 (2) 大人が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。

1. 問題の内容

大人3人、子ども5人の中から4人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。

(1) 大人2人と子ども2人を選ぶ。

(2) 大人が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 大人2人、子ども2人を選ぶ場合の数

大人3人から2人を選ぶ場合の数は、組み合わせの記号を用いて $_3C_2$ と表せます。これは、

$$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$$

子ども5人から2人を選ぶ場合の数は、組み合わせの記号を用いて $_5C_2$ と表せます。これは、

$$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

したがって、大人2人と子ども2人を選ぶ場合の数は、

$$_3C_2 \times _5C_2 = 3 \times 10 = 30$$

(2) 大人が少なくとも1人含まれる場合の数

全体の選び方から大人を含まない選び方（つまり全員子どもを選ぶ選び方）を引けばよい。

全体の選び方は、大人3人と子ども5人の中から4人を選ぶので、全部で8人の中から4人を選ぶ組み合わせである。これは $_8C_4$ と表せます。

$$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$$

大人を1人も含まない場合とは、4人全員が子どもの場合である。これは子ども5人の中から4人を選ぶ場合の数に等しく、$_5C_4$ と表せます。

$$_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = 5$$

したがって、大人が少なくとも1人含まれる選び方は、

$$_8C_4 - _5C_4 = 70 - 5 = 65$$

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 65通り