与えられた式 $(x-y+1)(x+y-1)-(x+y+1)(x-y-1)$ を展開して整理し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y+1)(x+y-1)-(x+y+1)(x-y-1)$ を展開して整理し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積を展開します。

$(x-y+1)(x+y-1)$ を展開します。

\begin{align*}

(x-y+1)(x+y-1) &= (x-(y-1))(x+(y-1)) \\

&= x^2 - (y-1)^2 \\

&= x^2 - (y^2 - 2y + 1) \\

&= x^2 - y^2 + 2y - 1

\end{align*}

次に、 $(x+y+1)(x-y-1)$ を展開します。

\begin{align*}

(x+y+1)(x-y-1) &= (x+(y+1))(x-(y+1)) \\

&= x^2 - (y+1)^2 \\

&= x^2 - (y^2 + 2y + 1) \\

&= x^2 - y^2 - 2y - 1

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

(x-y+1)(x+y-1)-(x+y+1)(x-y-1) &= (x^2 - y^2 + 2y - 1) - (x^2 - y^2 - 2y - 1) \\

&= x^2 - y^2 + 2y - 1 - x^2 + y^2 + 2y + 1 \\

&= x^2 - x^2 - y^2 + y^2 + 2y + 2y - 1 + 1 \\

&= 4y

\end{align*}

3. 最終的な答え

$4y$