与えられた連立一次方程式 $x - 3y - 2 = 0$ $ax + 2y + c = 0$ が、(1)ただ1組の解をもつ、(2)解をもたない、(3)無数の解をもつための必要十分条件をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$x - 3y - 2 = 0$

$ax + 2y + c = 0$

が、(1)ただ1組の解をもつ、(2)解をもたない、(3)無数の解をもつための必要十分条件をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

連立方程式を行列で表現すると、

$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ a & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -c \end{pmatrix}$

となります。

(1) ただ1組の解をもつ条件

この連立方程式がただ1組の解をもつための必要十分条件は、係数行列の行列式が0でないことです。

つまり、

$1 \cdot 2 - (-3) \cdot a \neq 0$

$2 + 3a \neq 0$

$a \neq -\frac{2}{3}$

(2) 解をもたない条件

解をもたない条件は、係数行列の行列式が0で、拡大行列のランクが係数行列のランクより大きいことです。

係数行列の行列式が0である条件は、

$2 + 3a = 0$

$a = -\frac{2}{3}$

このとき、方程式は

$x - 3y = 2$

$-\frac{2}{3}x + 2y = -c$

つまり、

$x - 3y = 2$

$x - 3y = \frac{3}{2}c$

したがって、

$2 \neq \frac{3}{2}c$

$c \neq \frac{4}{3}$

(3) 無数の解をもつ条件

無数の解をもつ条件は、係数行列の行列式が0で、拡大行列のランクと係数行列のランクが等しいことです。つまり、2つの式が実質的に同じである必要があります。

係数行列の行列式が0である条件は、$a = -\frac{2}{3}$です。

このとき、$c = \frac{4}{3}$であれば、2つの式は同じ式を表すことになり、無数の解を持ちます。

$x - 3y = 2$

$-\frac{2}{3}x + 2y = -c$

$x - 3y = \frac{3}{2}c$

したがって、

$2 = \frac{3}{2}c$

$c = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) ただ1組の解をもつための条件：$a \neq -\frac{2}{3}$

(2) 解をもたないための条件：$a = -\frac{2}{3}$ かつ $c \neq \frac{4}{3}$

(3) 無数の解をもつための条件：$a = -\frac{2}{3}$ かつ $c = \frac{4}{3}$