あるクラスでテストを行い、第一問の正解者は28人、第二問の正解者は33人、第三問の正解者は45人でした。クラスの人数は50人です。 (1) 第一問と第二問がともに正解だった者の数が最も少ない場合を求めます。 (2) 第一問、第二問、第三問すべてが正解だった者の数が最も少ない場合を求めます。

確率論・統計学集合包除原理場合の数論理
2025/7/8

1. 問題の内容

あるクラスでテストを行い、第一問の正解者は28人、第二問の正解者は33人、第三問の正解者は45人でした。クラスの人数は50人です。
(1) 第一問と第二問がともに正解だった者の数が最も少ない場合を求めます。
(2) 第一問、第二問、第三問すべてが正解だった者の数が最も少ない場合を求めます。

2. 解き方の手順

(1)
第一問の正解者数をAA、第二問の正解者数をBBとします。
A=28A = 28B=33B = 33
クラス全体の人数をUUとすると、U=50U = 50
第一問と第二問の両方とも正解した人数をxxとします。このxxが最小になる場合を考えます。
第一問または第二問を正解した人数は最大でクラス全体の人数である50人になります。
第一問または第二問を正解した人数は、A+BxA + B - xで表されます。
したがって、A+BxUA + B - x \le U
28+33x5028 + 33 - x \le 50
61x5061 - x \le 50
6150x61 - 50 \le x
11x11 \le x
したがって、第一問と第二問がともに正解だった者の数の最小値は11人です。
(2)
第一問の正解者数をAA、第二問の正解者数をBB、第三問の正解者数をCCとします。
A=28A = 28B=33B = 33C=45C = 45
クラス全体の人数をUUとすると、U=50U = 50
第一問、第二問、第三問のすべて正解した人数をyyとします。このyyが最小になる場合を考えます。
まず、第一問と第二問の両方とも正解した人数をxxとおくと、(1)より、x11x \ge 11です。このxxは、ABA \cap Bを表します。
ABCA \cap B \cap C の人数が最小となる場合を考えます。
ABCUA \cup B \cup C \le U
ABC=A+B+CABBCCA+ABC|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|
5028+33+45ABBCCA+y50 \ge 28 + 33 + 45 - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + y
50106ABBCCA+y50 \ge 106 - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + y
AB+BC+CA56y|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - 56 \ge y
ここで、ABA \cap Bは最小で11人、BCB \cap Cは最小で33+4550=2833+45-50 = 28人、CAC \cap Aは最小で28+4550=2328+45-50 = 23
11+28+2356=6256=611+28+23-56 = 62 - 56 = 6
したがって、第一問、第二問、第三問すべてが正解だった者の数の最小値は6人です。

3. 最終的な答え

(1) 11人
(2) 6人

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