あるクラスでテストを行い、第一問の正解者は28人、第二問の正解者は33人、第三問の正解者は45人でした。クラスの人数は50人です。 (1) 第一問と第二問がともに正解だった者の数が最も少ない場合を求めます。 (2) 第一問、第二問、第三問すべてが正解だった者の数が最も少ない場合を求めます。
2025/7/8
1. 問題の内容
あるクラスでテストを行い、第一問の正解者は28人、第二問の正解者は33人、第三問の正解者は45人でした。クラスの人数は50人です。
(1) 第一問と第二問がともに正解だった者の数が最も少ない場合を求めます。
(2) 第一問、第二問、第三問すべてが正解だった者の数が最も少ない場合を求めます。
2. 解き方の手順
(1)
第一問の正解者数を、第二問の正解者数をとします。
、
クラス全体の人数をとすると、
第一問と第二問の両方とも正解した人数をとします。このが最小になる場合を考えます。
第一問または第二問を正解した人数は最大でクラス全体の人数である50人になります。
第一問または第二問を正解した人数は、で表されます。
したがって、
したがって、第一問と第二問がともに正解だった者の数の最小値は11人です。
(2)
第一問の正解者数を、第二問の正解者数を、第三問の正解者数をとします。
、 、
クラス全体の人数をとすると、
第一問、第二問、第三問のすべて正解した人数をとします。このが最小になる場合を考えます。
まず、第一問と第二問の両方とも正解した人数をとおくと、(1)より、です。このは、を表します。
の人数が最小となる場合を考えます。
ここで、は最小で11人、は最小で人、は最小で人
したがって、第一問、第二問、第三問すべてが正解だった者の数の最小値は6人です。
3. 最終的な答え
(1) 11人
(2) 6人