3つのサイコロを同時に投げたとき、以下の確率を求めます。 (ア) 出る目の積が72になる確率 (イ) 出る目の最大値が5になる確率 (ウ) 出る目の最大値が5で、かつ最小値が2である確率

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げたとき、以下の確率を求めます。

(ア) 出る目の積が72になる確率

(イ) 出る目の最大値が5になる確率

(ウ) 出る目の最大値が5で、かつ最小値が2である確率

2. 解き方の手順

(ア) 出る目の積が72になる確率

3つのサイコロの目の積が72になる組み合わせを考えます。72を素因数分解すると $72 = 2^3 \times 3^2$ です。

可能な組み合わせは以下の通りです。

(2, 6, 6), (3, 3, 8), (3, 4, 6)

サイコロの目は1から6までなので、(3, 3, 8)はありえません。

(2, 6, 6)の順列は3通り (2, 6, 6), (6, 2, 6), (6, 6, 2)

(3, 4, 6)の順列は6通り (3, 4, 6), (3, 6, 4), (4, 3, 6), (4, 6, 3), (6, 3, 4), (6, 4, 3)

したがって、積が72になる組み合わせは3 + 6 = 9通りです。

3つのサイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りなので、確率は $9/216 = 1/24$ です。

(イ) 出る目の最大値が5になる確率

3つのサイコロの目が全て5以下である確率は $(5/6)^3 = 125/216$ です。

3つのサイコロの目が全て4以下である確率は $(4/6)^3 = 64/216$ です。

最大値が5である確率は、全て5以下である確率から全て4以下である確率を引いたものです。

$125/216 - 64/216 = 61/216$

(ウ) 出る目の最大値が5で、かつ最小値が2である確率

3つのサイコロの目が2以上5以下であり、少なくとも1つは5、少なくとも1つは2である必要があります。

可能な目の組み合わせは{2,x,5}です。ここでxは2,3,4,5のいずれかです。

x=2の場合: {2,2,5}の順列は3通り

x=3の場合: {2,3,5}の順列は6通り

x=4の場合: {2,4,5}の順列は6通り

x=5の場合: {2,5,5}の順列は3通り

したがって、組み合わせは3 + 6 + 6 + 3 = 18通りです。

確率は $18/216 = 1/12$

3. 最終的な答え

(ア) 1/24

(イ) 61/216

(ウ) 1/12