5人の旅行者が、うさぎ部屋とドラゴン部屋に分かれて宿泊します。 (1) 空き部屋があっても良い場合の部屋割りの総数を求めます。 (2) 空き部屋がない場合の部屋割りの総数を求めます。

1. 問題の内容

5人の旅行者が、うさぎ部屋とドラゴン部屋に分かれて宿泊します。

(1) 空き部屋があっても良い場合の部屋割りの総数を求めます。

(2) 空き部屋がない場合の部屋割りの総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 空き部屋があってもよい場合、各人がどちらの部屋に泊まるか2通りずつ選択肢があるので、5人全員の選択肢を掛け合わせます。

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$

(2) 空き部屋がない場合、必ずうさぎ部屋とドラゴン部屋の両方に人が宿泊する必要があります。

まず、5人の中からうさぎ部屋に泊まる人を選ぶ。次に、残った人の中からドラゴン部屋に泊まる人を選ぶ。

うさぎ部屋に1人、ドラゴン部屋に4人の場合、5C1 = 5通り

うさぎ部屋に2人、ドラゴン部屋に3人の場合、5C2 = 10通り

うさぎ部屋に3人、ドラゴン部屋に2人の場合、5C3 = 10通り

うさぎ部屋に4人、ドラゴン部屋に1人の場合、5C4 = 5通り

合計は、5 + 10 + 10 + 5 = 30通り

ただし、うさぎ部屋とドラゴン部屋は区別するので、うさぎ部屋にA,Bが泊まり、ドラゴン部屋にC,D,Eが泊まる場合と、うさぎ部屋にC,D,Eが泊まり、ドラゴン部屋にA,Bが泊まる場合は区別される。

したがって、うさぎ部屋に泊まる人の選び方と、ドラゴン部屋に泊まる人の選び方を掛け合わせたものが、部屋割りの総数となります。

うさぎ部屋に泊まる人数が1人の場合は5通り。残りの4人はドラゴン部屋に泊まる。

うさぎ部屋に泊まる人数が2人の場合は5C2 = $\frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。残りの3人はドラゴン部屋に泊まる。

しかし、うさぎ部屋とドラゴン部屋の区別があるので、各組み合わせについて部屋を入れ替えたパターンも考える必要がある。

うさぎ部屋とドラゴン部屋の人数が、1人と4人のパターン、2人と3人のパターンが存在するので、各パターンでの組み合わせの数を合計する。

うさぎ部屋に1人、ドラゴン部屋に4人: ${}_5C_1 = 5$ 通り

うさぎ部屋に2人、ドラゴン部屋に3人: ${}_5C_2 = 10$ 通り

うさぎ部屋に3人、ドラゴン部屋に2人: ${}_5C_3 = 10$ 通り

うさぎ部屋に4人、ドラゴン部屋に1人: ${}_5C_4 = 5$ 通り

合計は $5 + 10 + 10 + 5 = 30$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 32通り

(2) 30通り