数直線上を動く点Pが原点にあります。サイコロを投げて、1または6の目が出るとPは負の方向に1進み、それ以外の目が出るとPは正の方向に1進みます。サイコロを4回投げた後、Pの座標が2になる確率を求めます。

1. 問題の内容

数直線上を動く点Pが原点にあります。サイコロを投げて、1または6の目が出るとPは負の方向に1進み、それ以外の目が出るとPは正の方向に1進みます。サイコロを4回投げた後、Pの座標が2になる確率を求めます。

2. 解き方の手順

Pの座標が2になるためには、正の方向に進む回数を$x$回、負の方向に進む回数を$y$回としたとき、$x - y = 2$という関係が成り立つ必要があります。また、$x + y = 4$という関係も成り立ちます。

これらの2つの式を連立させて解くと、

$x = 3$

$y = 1$

となります。

つまり、4回のうち3回は正の方向に進み、1回は負の方向に進む必要があります。

サイコロを1回投げたとき、1または6の目が出る確率は$1/3$、それ以外の目が出る確率は$2/3$です。

4回のうち3回正の方向に進み、1回負の方向に進む確率は、二項定理を用いて以下のように計算できます。

$_4C_3 \times (\frac{2}{3})^3 \times (\frac{1}{3})^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$

3. 最終的な答え

求める確率は $\frac{32}{81}$ です。