3つの確率の問題があります。 (1) あたりくじ2本、はずれくじ3本の合計5本の中から、同時に2本引くとき、少なくとも1本があたる確率を求める。 (2) 男子4人、女子2人の合計6人の中から、2人をくじ引きで選ぶとき、少なくとも1人が女子である確率を求める。 (3) A, B, C, Dの4人が4人掛けのベンチに無作為に座るとき、AとBが隣り合わない確率を求める。

1. 問題の内容

3つの確率の問題があります。

(1) あたりくじ2本、はずれくじ3本の合計5本の中から、同時に2本引くとき、少なくとも1本があたる確率を求める。

(2) 男子4人、女子2人の合計6人の中から、2人をくじ引きで選ぶとき、少なくとも1人が女子である確率を求める。

(3) A, B, C, Dの4人が4人掛けのベンチに無作為に座るとき、AとBが隣り合わない確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

少なくとも1本があたる確率を求めるには、余事象を利用して、2本ともはずれを引く確率を全体から引く方法が考えられます。

まず、2本のくじの選び方は、5本から2本を選ぶ組み合わせなので、${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

2本ともはずれを引くのは、3本のはずれくじから2本を選ぶ組み合わせなので、${}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通りです。

したがって、2本ともはずれを引く確率は $\frac{3}{10}$です。

少なくとも1本があたる確率は、$1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$です。

(2)

少なくとも1人が女子である確率を求めるには、余事象を利用して、2人とも男子である確率を全体から引く方法が考えられます。

まず、2人の選び方は、6人から2人を選ぶ組み合わせなので、${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

2人とも男子であるのは、4人の男子から2人を選ぶ組み合わせなので、${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

したがって、2人とも男子である確率は $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$です。

少なくとも1人が女子である確率は、$1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$です。

(3)

AとBが隣り合わない確率を求めるには、余事象を利用して、AとBが隣り合う確率を全体から引く方法が考えられます。

まず、4人の座り方は、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りです。

AとBが隣り合う座り方を考えます。AとBをひとまとめにして考えると、(AB), C, Dの3つのものを並べる順列は$3! = 6$通りあります。さらに、AとBの並び順はABとBAの2通りあるので、AとBが隣り合う座り方は$6 \times 2 = 12$通りです。

したがって、AとBが隣り合う確率は $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$です。

AとBが隣り合わない確率は、$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$です。

3. 最終的な答え

(1) 少なくとも1本があたる確率は $\frac{7}{10}$ です。

(2) 少なくとも1人が女子である確率は $\frac{3}{5}$ です。

(3) AとBが隣り合わない確率は $\frac{1}{2}$ です。