画像の問題は、確率に関する複数の小問から構成されています。具体的には、以下の内容が含まれています。 (1) サイコロを複数回投げたときの確率 (2) 人が並ぶ順番の確率 (3) じゃんけんで1人だけが勝つ確率 (4) 文字列の並び替えにおける特定の条件を満たす確率 (5) 玉を取り出す確率 (6) サイコロを複数回投げたときの確率 (7) くじ引きの確率

1. 問題の内容

画像の問題は、確率に関する複数の小問から構成されています。具体的には、以下の内容が含まれています。

(1) サイコロを複数回投げたときの確率

(2) 人が並ぶ順番の確率

(3) じゃんけんで1人だけが勝つ確率

(4) 文字列の並び替えにおける特定の条件を満たす確率

(5) 玉を取り出す確率

(6) サイコロを複数回投げたときの確率

(7) くじ引きの確率

2. 解き方の手順

それぞれの小問について、解き方を説明します。

(1) 3個のサイコロを同時に投げるとき

* ① 目の和が5になる確率

目の和が5になる組み合わせは、(1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 3, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1) の6通りですが、(1,1,3)などは順番が異なると別の出方として数える必要があります。

(1, 1, 3) -> 3通り

(1, 2, 2) -> 3通り

したがって、合計6通りです。全事象は、$6^3 = 216$通りなので、確率は$6/216 = 1/36$となります。

* ② 目の積が偶数になる確率

目の積が偶数になるのは、少なくとも1つ偶数が出れば良いので、全て奇数になる確率を求めて、1から引きます。全て奇数になる確率は$(3/6)^3 = (1/2)^3 = 1/8$ です。したがって、目の積が偶数になる確率は $1 - 1/8 = 7/8$です。

(2) A組の生徒4人とB組の生徒5人がくじ引きで順番を決めて横1列に並ぶとき

* ① A組の生徒4人が続いて並ぶ確率

A組の生徒4人をひとまとめにして考えると、全体は6つの要素(A組のグループとB組の5人)の並び順を考えることになります。6つの要素の並び順は6!通り。A組の4人の並び順は4!通り。

したがって、確率は $6! * 4! / 9! = (6! * 4!) / (9 * 8 * 7 * 6!) = 4! / (9 * 8 * 7) = 24 / 504 = 1 / 21$です。

* ② A組の生徒とB組の生徒が交互に並ぶ確率

A組4人、B組5人なので、Bが最初と最後に並ぶ必要があります。並び方は、B A B A B A B A B のみです。確率は$5! * 4! / 9! = (5*4*3*2*1)*(4*3*2*1) / (9*8*7*6*5*4*3*2*1)= (4! * 5!)/(9!)=1/126$

(3) 5人でじゃんけんを1回するとき、1人だけ勝つ確率

1人が勝つためには、残りの4人があいこになる必要があります。

まず、誰が勝つか5通り。

その勝ち手がグー、チョキ、パーの3通り。

残りの4人があいこになるには、4人全員が同じ手を出す場合(3通り)、または3人が同じ手で1人が違う手を出す場合、もしくは2人が同じ手を出し残りの2人がまた違う同じ手を出す場合。4人全員が同じ手を出すのは3通り。

(あいこになるのは全員が同じ手を出す場合のみなので、計算を簡単にするため、勝ち手以外の2つの手を出す人がいると考えると、少なくとも2人以上が勝つことになるので、除外します)

よって、確率は$5 * 3 * 3 / 3^5 = 45/243=5/27$となります。

(4) FUCHUHSの7文字を横1列に並べるとき、F、C、Sがこの順(FがCより左で、CがSより左)にある確率

まず、7文字の並び方は $7! / (2! * 2!)$。F, C, Sを同じ文字Xとして考え、XUCHUHSの並び方を計算すると、$7!/(2! * 2! * 3!)=420$通り。

F, C, Sの順序は1通りに決まっているので、$7!/2!/2! * 1/6$で計算します。

全ての並び方は$7! / (2! * 2!) = 1260$通り。

FCSの順番になるのは、$1/6$なので、$1260/6 = 210$通り。

確率は、F, C, Sの位置を固定しない場合の並び方($1260$)に対する、F, C, Sの順に並ぶ場合の数($210$)の比率なので、$210/1260 = 1/6$となります。

(5) 赤玉7個,白玉5個の入った袋の中から、3個の玉を同時に取り出すとき

* ① 赤玉2個と白玉1個が出る確率

赤玉7個から2個を選ぶ組み合わせは ${7 \choose 2} = 21$通り。白玉5個から1個を選ぶ組み合わせは ${5 \choose 1} = 5$通り。

全体として3個を選ぶ組み合わせは ${12 \choose 3} = 220$通り。

確率は $(21 * 5) / 220 = 105/220 = 21/44$です。

* ② 3個とも同じ色の玉が出る確率

3個とも赤玉である確率は、${7 \choose 3} / {12 \choose 3} = 35/220$。

3個とも白玉である確率は、${5 \choose 3} / {12 \choose 3} = 10/220$。

したがって、確率は $(35 + 10) / 220 = 45/220 = 9/44$です。

(6) 1個のさいころを6回投げるとき

* ① 2以下の目がちょうど4回出る確率

2以下の目が出る確率は $2/6 = 1/3$。

${6 \choose 4} * (1/3)^4 * (2/3)^2 = 15 * (1/81) * (4/9) = 60/729 = 20/243$

* ② 6回目に4度目の2以下の目が出る確率

5回目までに2以下の目が3回出て、6回目に2以下の目が出る確率。

${5 \choose 3} (1/3)^3 (2/3)^2 * (1/3) = 10 * (1/27) * (4/9) * (1/3) = 40/729$

(7) くじが12本あり、そのうち5本が当たりくじである。A, B, Cの3人がこの順に1本ずつくじを引く。ただし引いたくじはもとにもどさない。

* ① Bが当たる確率

Aが当たるか外れるかで場合分けします。

Aが当たってBが当たる確率は、(5/12) * (4/11) = 20/132

Aが外れてBが当たる確率は、(7/12) * (5/11) = 35/132

合計して、(20 + 35) / 132 = 55/132 = 5/12。

(これは、Bが何番目に引いても当たる確率は5/12になることを示しています。)

* ② Aがはずれを引き、Bが当たりを引いたとき、Cが当たる確率

Aが外れる確率は7/12。Bが当たる確率は5/11。残りのくじは10本で、当たりくじは4本。したがって、Cが当たる確率は 4/10 = 2/5。

求める確率は $4/10=2/5$。

3. 最終的な答え

(1)

* ① 1/36

* ② 7/8

(2)

* ① 1/21

* ② 1/126

(3) 5/27

(4) 1/6

(5)

* ① 21/44

* ② 9/44

(6)

* ① 20/243

* ② 40/729

(7)

* ① 5/12

* ② 2/5