与えられた問題は以下の通りです。 1. 赤玉4個、白玉3個が入っている袋から同時に2個の玉を取り出す。 (1) 2個が同じ色である確率を求めよ。 (2) 少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

1. 赤玉4個、白玉3個が入っている袋から同時に2個の玉を取り出す。

(1) 2個が同じ色である確率を求めよ。

(2) 少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

2. 1から100までの番号が書かれたカードから1枚を取り出すとき、その番号が3の倍数または4の倍数である確率を求めよ。

3. 大小2つのサイコロを投げるとき、大きいサイコロが偶数、小さいサイコロが4以上の目が出る確率を求めよ。

4. 赤玉3個、白玉2個が入った袋から1個取り出し、戻してから再び1個取り出す。

(1) 2個とも白玉である確率を求めよ。

(2) 白玉、赤玉の順に出る確率を求めよ。

5. 1つのサイコロを4回投げるとき、1の目がちょうど3回出る確率を求めよ。

6. 10本中3本が当たりのくじをA, Bの順に引くとき、Bが当たりを引いた場合にAも当たりを引いている条件付き確率を求めよ。

7. 3枚の100円硬貨を投げ、表の枚数だけ100円もらえるゲームの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

1. (1) 同じ色となるのは、赤玉2個または白玉2個の場合です。

赤玉2個の場合：$\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{6}{21}$

白玉2個の場合：$\frac{{}_3C_2}{{}_7C_2} = \frac{3}{21}$

合計：$\frac{6}{21} + \frac{3}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

(2) 少なくとも1個が白玉である確率は、1から両方とも赤玉である確率を引いたものです。

両方とも赤玉の場合：$\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{6}{21}$

少なくとも1個が白玉：$1 - \frac{6}{21} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$

2. 3の倍数の個数：$\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

4の倍数の個数：$\lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$

12の倍数の個数：$\lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$

3の倍数または4の倍数：$33 + 25 - 8 = 50$

確率：$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

3. 大きいサイコロが偶数である確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

小さいサイコロが4以上である確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

両方満たす確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

4. (1) 2回とも白玉である確率：$\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

(2) 白玉、赤玉の順に出る確率：$\frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$

5. 1の目が3回出る確率：${}_4C_3 (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$

6. P(Aが当たり | Bが当たり) = P(Aが当たり かつ Bが当たり) / P(Bが当たり)

P(Bが当たり) = P(Aが当たり)P(Bが当たり | Aが当たり) + P(Aが外れ)P(Bが当たり | Aが外れ) = $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{6+21}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$

P(Aが当たり かつ Bが当たり) = $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$

P(Aが当たり | Bが当たり) = $\frac{1/15}{3/10} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}$

7. 0枚表：${}_3C_0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$、金額0円

1枚表：${}_3C_1 (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}$、金額100円

2枚表：${}_3C_2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}$、金額200円

3枚表：${}_3C_3 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$、金額300円

期待値：$0 \times \frac{1}{8} + 100 \times \frac{3}{8} + 200 \times \frac{3}{8} + 300 \times \frac{1}{8} = \frac{300+600+300}{8} = \frac{1200}{8} = 150$

3. 最終的な答え

1. (1) $\frac{3}{7}$

(2) $\frac{5}{7}$

2. $\frac{1}{2}$

3. $\frac{1}{4}$

4. (1) $\frac{4}{25}$

(2) $\frac{6}{25}$

5. $\frac{5}{324}$

6. $\frac{2}{9}$

7. 150円