袋の中に白玉4個と赤玉5個が入っている。この袋から同時に5個の玉を取り出す。 (1) 白玉が2個、赤玉が3個出る確率を求める。 (2) 同じ色の玉がちょうど2個出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉4個と赤玉5個が入っている。この袋から同時に5個の玉を取り出す。

(1) 白玉が2個、赤玉が3個出る確率を求める。

(2) 同じ色の玉がちょうど2個出る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 白玉が2個、赤玉が3個出る確率

まず、全部で何通りの玉の取り出し方があるかを計算する。これは、9個の玉から5個を選ぶ組み合わせなので、${}_9 C_5$ となる。

${}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

次に、白玉が2個、赤玉が3個出る組み合わせの数を計算する。白玉4個から2個選ぶ組み合わせは ${}_4 C_2$ で、赤玉5個から3個選ぶ組み合わせは ${}_5 C_3$。よって、白玉2個、赤玉3個の組み合わせの数は ${}_4 C_2 \times {}_5 C_3$ となる。

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、白玉2個、赤玉3個の組み合わせの数は $6 \times 10 = 60$ 通り。

求める確率は、$\frac{60}{126} = \frac{30}{63} = \frac{10}{21}$ となる。

(2) 同じ色の玉がちょうど2個出る確率

同じ色の玉が2個出るのは、次の2つの場合がある。

a. 白玉が2個、赤玉が3個

b. 赤玉が2個、白玉が3個

a. は(1)で計算済みで、組み合わせの数は $6 \times 10 = 60$ 通り。

b. の場合を計算する。赤玉5個から2個選ぶ組み合わせは ${}_5 C_2$ で、白玉4個から3個選ぶ組み合わせは ${}_4 C_3$。

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$

したがって、赤玉2個、白玉3個の組み合わせの数は $10 \times 4 = 40$ 通り。

同じ色の玉が2個出る組み合わせの数は、 $60 + 40 = 100$ 通り。

求める確率は、$\frac{100}{126} = \frac{50}{63}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{21}$

(2) $\frac{50}{63}$