長さ1の針金を3つに切り、2つの正方形と1つの正三角形を作る。2つの正方形の面積と正三角形の面積の和が最小になるようにするには、針金をそれぞれどのような長さに切ればよいか。

1. 問題の内容

長さ1の針金を3つに切り、2つの正方形と1つの正三角形を作る。2つの正方形の面積と正三角形の面積の和が最小になるようにするには、針金をそれぞれどのような長さに切ればよいか。

2. 解き方の手順

針金の長さをそれぞれ $x$, $y$, $z$ とおく。このとき、

$x + y + z = 1$

である。

$x$ と $y$ を正方形の周の長さに、 $z$ を正三角形の周の長さに使う。

したがって、正方形の一辺の長さはそれぞれ $x/4$ と $y/4$ であり、正三角形の一辺の長さは $z/3$ である。

正方形の面積は $(x/4)^2$ と $(y/4)^2$ であり、正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} (z/3)^2$ である。

面積の和 $S$ は

$S = (x/4)^2 + (y/4)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} (z/3)^2 = \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{\sqrt{3} z^2}{36}$

$z = 1 - x - y$ であるから、

$S = \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{\sqrt{3} (1-x-y)^2}{36}$

$S$ を $x$ と $y$ で偏微分する。

$\frac{\partial S}{\partial x} = \frac{2x}{16} + \frac{2\sqrt{3}(1-x-y)(-1)}{36} = \frac{x}{8} - \frac{\sqrt{3}(1-x-y)}{18} = 0$

$\frac{\partial S}{\partial y} = \frac{2y}{16} + \frac{2\sqrt{3}(1-x-y)(-1)}{36} = \frac{y}{8} - \frac{\sqrt{3}(1-x-y)}{18} = 0$

よって

$\frac{x}{8} = \frac{\sqrt{3}(1-x-y)}{18}$

$\frac{y}{8} = \frac{\sqrt{3}(1-x-y)}{18}$

したがって $x = y$ である。

$\frac{x}{8} = \frac{\sqrt{3}(1-2x)}{18}$

$18x = 8\sqrt{3}(1-2x) = 8\sqrt{3} - 16\sqrt{3}x$

$(18 + 16\sqrt{3})x = 8\sqrt{3}$

$x = \frac{8\sqrt{3}}{18 + 16\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9 + 8\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3} (9 - 8\sqrt{3})}{(9 + 8\sqrt{3})(9 - 8\sqrt{3})} = \frac{36\sqrt{3} - 96}{81 - 192} = \frac{36\sqrt{3} - 96}{-111} = \frac{96 - 36\sqrt{3}}{111} = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}$

$z = 1 - 2x = 1 - 2 \frac{32 - 12\sqrt{3}}{37} = \frac{37 - 64 + 24\sqrt{3}}{37} = \frac{24\sqrt{3} - 27}{37}$

$x = y = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}$

$z = \frac{24\sqrt{3} - 27}{37}$

3. 最終的な答え

針金を正方形を作るために $\frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}$ の長さに2つ切り、正三角形を作るために $\frac{24\sqrt{3} - 27}{37}$ の長さに切る。