長さ1の針金を3つに切り、正方形2つと正三角形1つを作る。これら3つの図形の面積の和を最小にするには、針金をそれぞれどのように切れば良いか。

1. 問題の内容

長さ1の針金を3つに切り、正方形2つと正三角形1つを作る。これら3つの図形の面積の和を最小にするには、針金をそれぞれどのように切れば良いか。

2. 解き方の手順

(1) 針金の長さを $x, y, z$ とおく。

$x, y, z$ は正方形の周囲の長さと正三角形の周囲の長さを表す。このとき、$x+y+z=1$ が成り立つ。

(2) それぞれの面積を計算する。

正方形の面積は、1辺の長さを $a$ とすると $a^2$。周囲の長さが $x$ のとき、$x=4a$ より $a = x/4$。面積は $(x/4)^2 = x^2/16$。

正三角形の面積は、1辺の長さを $b$ とすると $\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$。周囲の長さが $z$ のとき、$z=3b$ より $b = z/3$。面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}(z/3)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36}z^2$。

2つの正方形と1つの正三角形の面積の和 $S$ は、

$$S = \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{\sqrt{3}}{36}z^2$$

(3) $x+y+z = 1$ より、$z = 1 - x - y$。これを $S$ に代入する。

$$S = \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{\sqrt{3}}{36}(1-x-y)^2$$

(4) $S$ を $x$ と $y$ で偏微分し、偏微分した式が0になる条件を求める。

$$\frac{\partial S}{\partial x} = \frac{2x}{16} + \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot 2(1-x-y)(-1) = \frac{x}{8} - \frac{\sqrt{3}}{18}(1-x-y) = 0$$

$$\frac{\partial S}{\partial y} = \frac{2y}{16} + \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot 2(1-x-y)(-1) = \frac{y}{8} - \frac{\sqrt{3}}{18}(1-x-y) = 0$$

(5) 上記の2式を整理すると、

$$\frac{x}{8} = \frac{\sqrt{3}}{18}(1-x-y)$$

$$\frac{y}{8} = \frac{\sqrt{3}}{18}(1-x-y)$$

したがって、$\frac{x}{8} = \frac{y}{8}$ より、$x = y$。

(6) $x=y$ を $\frac{x}{8} = \frac{\sqrt{3}}{18}(1-x-y)$ に代入する。

$$\frac{x}{8} = \frac{\sqrt{3}}{18}(1-2x)$$

$$18x = 8\sqrt{3}(1-2x)$$

$$18x = 8\sqrt{3} - 16\sqrt{3}x$$

$$(18 + 16\sqrt{3})x = 8\sqrt{3}$$

$$x = \frac{8\sqrt{3}}{18 + 16\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9 + 8\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}(9 - 8\sqrt{3})}{(9 + 8\sqrt{3})(9 - 8\sqrt{3})} = \frac{36\sqrt{3} - 96}{81 - 192} = \frac{36\sqrt{3} - 96}{-111} = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}$$

(7) $x = y = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}$ より、

$$z = 1 - x - y = 1 - 2x = 1 - 2\left(\frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}\right) = \frac{37 - 64 + 24\sqrt{3}}{37} = \frac{24\sqrt{3} - 27}{37} = \frac{24\sqrt{3} - 27}{37} = \frac{3(8\sqrt{3} - 9)}{37}$$

したがって、

$x = y = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}$

$z = \frac{24\sqrt{3} - 27}{37}$

3. 最終的な答え

針金を正方形に切る長さ: $\frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}$

針金を正三角形に切る長さ: $\frac{24\sqrt{3} - 27}{37}$

正方形を2つ作るから、それぞれ$\frac{32 - 12\sqrt{3}}{37}$、正三角形を１つ作るから$\frac{24\sqrt{3} - 27}{37}$。