車1と車2が60°で交差する道路を走行している。車1の速度は $v_1 = 60$ km/hである。車1から見ると、車2は常に真横に見える。このとき、車2の速度 $v_2$ の大きさと、車1から見た車2の速度の大きさ $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

車1と車2が60°で交差する道路を走行している。車1の速度は $v_1 = 60$ km/hである。車1から見ると、車2は常に真横に見える。このとき、車2の速度 $v_2$ の大きさと、車1から見た車2の速度の大きさ $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

車1から見て車2が真横に見えるということは、車2の速度ベクトル $v_2$ から車1の速度ベクトル $v_1$ を引いた相対速度ベクトル $v_2 - v_1$ が $v_1$ の方向と直交することを意味する。

ベクトル図より、$v_1, v_2, V$ は直角三角形を形成し、$v_2$ が斜辺になる。

よって、

$\sin 60^\circ = \frac{v_1}{v_2}$

が成り立つ。

$v_2$ について解くと、

$v_2 = \frac{v_1}{\sin 60^\circ} = \frac{60}{\sqrt{3}/2} = \frac{120}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.7$ なので、

$v_2 \approx 40 \times 1.7 = 68$ km/h

また、車1から見た車2の速度の大きさ $V$ は、直角三角形のもう一つの辺なので、

$V = v_1 \tan 60^\circ=v_1\sqrt{3}=60\sqrt{3}$

$V \approx 60 \times 1.7 = 102$ km/h

あるいは

$V = \sqrt{v_2^2 - v_1^2} = \sqrt{(40\sqrt{3})^2 - 60^2} = \sqrt{4800 - 3600} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3 \cdot 4} = 20 \cdot 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3}=60\sqrt{3}$

より求める。

3. 最終的な答え

$v_2 \approx 68$ km/h

$V \approx 102$ km/h