2台の車1と車2が60°で交差する道路をそれぞれ速度 $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ で走行しています。車1の速度は $\vec{v_1} = 60 \text{ km/h}$ です。車1から見て車2が常に真横に見えるとき、車2の速度 $\vec{v_2}$ を求め、さらに車1から見た車2の速度の大きさ $V$ (車2の車1に対する相対速度) を求めます。

1. 問題の内容

2台の車1と車2が60°で交差する道路をそれぞれ速度 $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ で走行しています。車1の速度は $\vec{v_1} = 60 \text{ km/h}$ です。車1から見て車2が常に真横に見えるとき、車2の速度 $\vec{v_2}$ を求め、さらに車1から見た車2の速度の大きさ $V$ (車2の車1に対する相対速度) を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 相対速度 $\vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$ の方向を考える。

車1から見て車2が常に真横に見えるということは、相対速度 $\vec{v}$ が車1の進行方向と垂直であるということである。

(2) 図を描いて考える。

$\vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$ の関係を図示すると、$\vec{v_2}$ は $\vec{v}$ と $\vec{v_1}$ のベクトル和で表される。

ここで、$\vec{v_1}$ の大きさが60 km/hであり、$\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ のなす角が60°、$\vec{v}$ が $\vec{v_1}$ と垂直であることから、$\vec{v_2}$ の向きは$\vec{v_1}$ が作る直線に対して60度で交わる直線上にある。

(3) $\vec{v_2}$ の大きさを求める。

$\vec{v_1}$、$\vec{v_2}$、$\vec{v}$ が作る三角形は直角三角形である。したがって、

$|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| \cos{60^\circ}$

が成り立つ。

$|\vec{v_1}| = 60 \text{ km/h}$ なので、

$60 = |\vec{v_2}| \times \frac{1}{2}$

$|\vec{v_2}| = 120 \text{ km/h}$

(4) $V$ を求める。

$V = |\vec{v}|$ であり、$\vec{v}$、$\vec{v_1}$、$\vec{v_2}$ が作る三角形は直角三角形なので、

$V = |\vec{v_2}| \sin{60^\circ}$

$V = 120 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$V = 60\sqrt{3}$

$\sqrt{3} = 1.7$として計算すると、

$V = 60 \times 1.7 = 102 \text{ km/h}$

3. 最終的な答え

$\vec{v_2} = 120 \text{ km/h}$

$V = 102 \text{ km/h}$