電気容量 $C_1 = 20 \mu F$, $C_2 = 40 \mu F$, $C_3 = 60 \mu F$ のコンデンサーが、2.0Vの電池に繋がれている。最初、全てのコンデンサーの電荷は0である。以下の問いに答えよ。 * 問1: スイッチS1を閉じたとき、C2に蓄えられる電気量はいくらか。 * 問2: スイッチS1を開いてからS2を閉じて十分に時間が経ったとき、C2に蓄えられる電気量を求めよ。 * 問3: 再びS2を開いてからS1を閉じて十分に時間が経ったとき、C2に蓄えられる電気量を求めよ。

## 問題2

1. 問題の内容

電気容量 $C_1 = 20 \mu F$, $C_2 = 40 \mu F$, $C_3 = 60 \mu F$ のコンデンサーが、2.0Vの電池に繋がれている。最初、全てのコンデンサーの電荷は0である。以下の問いに答えよ。

* 問1: スイッチS1を閉じたとき、C2に蓄えられる電気量はいくらか。

* 問2: スイッチS1を開いてからS2を閉じて十分に時間が経ったとき、C2に蓄えられる電気量を求めよ。

* 問3: 再びS2を開いてからS1を閉じて十分に時間が経ったとき、C2に蓄えられる電気量を求めよ。

2. 解き方の手順

* 問1: スイッチS1を閉じると、C1とC2が直列になる。全体の電気容量$C_{total}$は以下のようになる。

$\frac{1}{C_{total}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{40} = \frac{3}{40}$

$C_{total} = \frac{40}{3} \mu F$

蓄えられる電荷$Q$は以下のようになる。

$Q = C_{total} V = \frac{40}{3} \times 2 = \frac{80}{3} \mu C$

C2に蓄えられる電荷は$Q$と等しい。

* 問2: スイッチS1を開きS2を閉じると、C2とC3が並列になる。全体の電気容量$C_{total}$は以下のようになる。

$C_{total} = C_2 + C_3 = 40 + 60 = 100 \mu F$

この$C_{total}$に、問1でC1とC2に蓄えられた電荷$Q$が蓄えられている。したがって、電圧$V'$は

$V' = \frac{Q}{C_{total}} = \frac{80/3}{100} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} V$

したがって、C2に蓄えられる電荷$Q_2$は

$Q_2 = C_2 V' = 40 \times \frac{4}{15} = \frac{160}{15} = \frac{32}{3} \mu C$

* 問3: 再びS2を開いてS1を閉じると、C1とC2が直列になる。

問1と同様に、全体の電気容量$C_{total}$は$\frac{40}{3} \mu F$である。

ただし、初期状態でC2には$\frac{32}{3} \mu C$の電荷が蓄えられている。

コンデンサに電荷が蓄えられた状態でS1を閉じると、新たに蓄えられる電荷を$Q$とすると、C1とC2の電荷はそれぞれ$Q$と$Q+\frac{32}{3}$となる。

C1の電圧は$\frac{Q}{20}$、C2の電圧は$\frac{Q + 32/3}{40}$であり、これらの和が電源電圧2Vとなるので、以下の式が成り立つ。

$\frac{Q}{20} + \frac{Q + 32/3}{40} = 2$

$2Q + Q + 32/3 = 80$

$3Q = 80 - \frac{32}{3} = \frac{240-32}{3} = \frac{208}{3}$

$Q = \frac{208}{9} \mu C$

C2に蓄えられる電荷は$Q_2 = Q + \frac{32}{3} = \frac{208}{9} + \frac{96}{9} = \frac{304}{9} \mu C$

3. 最終的な答え

* 問1: $\frac{80}{3} \mu C$

* 問2: $\frac{32}{3} \mu C$

* 問3: $\frac{304}{9} \mu C$

## 問題3

1. 問題の内容

内部抵抗の無視できる起電力3.0Vの直流電源、抵抗値がそれぞれ10Ω, 20Ω, 30Ωの抵抗R1, R2, R3と電気容量がそれぞれ1.0μF, 4.0μFのコンデンサーC1, C2に接続した。始めコンデンサーに電荷はないものとする。

* 問1: スイッチS2を開いたまま、スイッチS1を閉じた。その直後にR1に流れる電流はいくらか。

* 問2: 問1から十分に時間が経った後、R2の両端の電位差はいくらか。

* 問3: 問2のとき、C2に蓄えられる電気量はいくらか。

* 問4: 次に、スイッチS2も閉じて十分に時間が経過した。R2の両端の電位差はいくらか。

* 問5: 問4のとき、C2に蓄えられる電気量はいくらか。

2. 解き方の手順

* 問1: スイッチS1を閉じた直後、コンデンサーC1,C2には電荷が蓄えられていないため、短絡しているとみなせる。S2が開いているので、R2とR3は回路に含まれない。したがって、R1のみに電流が流れる。

$I = \frac{V}{R_1} = \frac{3.0}{10} = 0.3 A$

* 問2: 十分に時間が経つと、コンデンサーC1は充電され、定常状態になる。このとき、C1には電流が流れなくなるため、R1にも電流が流れなくなる。従って、回路には電流が流れず、R2の両端の電位差は0Vである。

* 問3: 問2のとき、C2に並列に接続されている抵抗は存在しないので、電荷は蓄えられない。C2に蓄えられる電気量は0である。

* 問4: スイッチS2も閉じると、R2とR3が並列になる。R1と並列回路（R2とR3の並列）が直列につながる。

R2とR3の並列抵抗は

$R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12 \Omega$

回路全体の抵抗はR1+R23 = 10 + 12 = 22Ω

全体の電流は

$I = \frac{V}{R} = \frac{3}{22} A$

R2の両端の電位差は

$V_2 = I R_{23} = \frac{3}{22} \times 12 = \frac{36}{22} = \frac{18}{11} V$

* 問5: スイッチS2を閉じ、十分に時間が経つと、コンデンサーC1とC2は充電され、定常状態になる。C2に並列に接続されているR3に電流が流れなくなる。C2に蓄えられる電荷は

$Q_2 = C_2 V_2 = 4 \times \frac{18}{11} = \frac{72}{11} \mu C$

3. 最終的な答え

* 問1: 0.3 A

* 問2: 0 V

* 問3: 0 $\mu$C

* 問4: $\frac{18}{11}$ V

* 問5: $\frac{72}{11}$ $\mu$C